DM de dérivation

[Etienne]

Bonjour. Je suis complètement bloqué à cet exercice. Je cherche depuis au moins 6 heures, mais je n'y arrive absolument pas.
Le sujet est :

Soit une fonction f définie sur R, de la forme : f(x)=ax^3+bx^2+cx.

On sait que f(4)=16 ; f′(4)=0 et f′(1)=0. Calculer a, b et c.

Je n'ai plus aucunes idées de comment calculer a, b et c. Je pense qu'il faut dériver la fonction f(x) mais je n'y arrive pas, je commence à désespérer.

Merci d'avance pour votre aide.

[SoS-Math(33)]

Bonjour Etienne,
tu as \(f(x)=ax^3+bx^2+cx\) et on te donne \(f(4)=16\) cela te donne une première relation entre a, b et c
Ensuite effectivement il te faut calculer \(f'(x)\) ce qui avec \(f'(4) = 0\) et \(f'(1)=0\) te donnera deux autres relations entre a, b et c.
Ainsi tu vas pouvoir trouver les valeurs de a, b et c.
Pour la dérivée tu dois obtenir \(f'(x) = 3ax^2+2bx+c\)
Je te laisse faire les calculs.

[Etienne]

En fait je crois que j'ai réussit à calculer f '(x), ce qui donnerait f '(x)= 3ax^2+2b+c

[SoS-Math(33)]

Tu as une petite erreur c'est 2bx mais tu as la réponse au dessous

[Etienne]

Est-ce que vous pouvez m'expliquer comment vous avez trouver la dérivée ?

[SoS-Math(33)]

tu as \((ax^3)'= 3ax^2\)
\((bx^2)' = 2bx\)
\((cx)'=c\)
Pour la dérivée ça donne \(f'(x) = 3ax^2+2bx+c\)

[Etienne]

A d'accord, c'est bon j'ai compris.
Donc maintenant, si j'ai bien compris on a un système à 3 équations
f(4)=a4^3+b4^2+c4=16
f '(4)=3a4^2+2b4+c=0
f '(1)=3a1^2+2b1+c=0
Mais comment on résous ce système ?

[SoS-Math(33)]

Déjà il te faut faire les calculs pour avoir que des nombres et a, b et c.

[Etienne]

Heu, je sais pas si j'ai compris, je retire les puissances ?
Si c'est ça alors ça fait :
f(4)=a*64+b*16+c*4=16
f '(4)=48a+8b+c=0 *
f '(1)=3a+2b+c=0

[SoS-Math(33)]

Oui c'est cela,
maintenant il ne te reste plus qu'à résoudre ce système.
Tu dois avoir appris à le faire.

[Etienne]

Effectivement. Merci beaucoup pour votre aide, bonne continuation.