SOS-MATH

Bonjour,

Je cherche depuis le début des vacances un exercice et je ne vois pas la méthode pour le réaliser. Voici le texte exact:

soit u la suite définie par Uo =20 et par la ,relation de récurrence R : Un+1 = 1\2Un +nxn +3. Démontrer qu'il existe une seule suite Vn que l'on déterminera, vérifiant la relation R et telle que la forme explicite soit un polynôme du second degré.

Je crois que j'arrive à exprimer Un soit forme explicite mais je ne vois comment trouver Vn

Pouvez-vous me donner des pistes de recherche

Merci

Bonjour Marguerite,

Pour \(\left ( v_{n} \right )\), il est dit que sa forme explicite est du 2nd degré. Ainsi sa forme explicite est du type : \(v_{n}=an^{2}+bn+c\) où \(a,b,c\) sont des réels à déterminer. Avec la relation (R), utilise cette expression pour trouver les valeurs de ces trois réels.

SoSMath

merci de votre réponse. c'est ce que j'ai essayé de faire les derniers. en utilisant Uo, U1; U2 et une système j'ai trouvé :
Vn = 9/4nxn-37/4n+20

Mais avec la question suivante cela ne va alors plus car on me demande de faire Wn = Un -Vn
Même si je fais Un+1- Vn+1 il y a toujours le 1/2 de Un qui reste et je n'arrive donc pas à prouver que Wn est géométrique

Quelle méthode dois-je employer ou quelle faute de raisonnement fais-je

Merci car je beaucoup de temps à chercher sans avancer.

Ecris moi tes calculs car tu devrais effectivement montrer que la suite différence est géométrique.

SoSMath

merci de répondre si vite. j'ai calculer Vn+1
Vn+1=9/4(n+1)(n+1)-37/4(n+1) +2o
= 9/4nxn-19/4n+52/4
je fais Wn = Un+1-Vn+1 =
1/2Un+nxn+3 -9/4nxn+19/4n-52/4=
1/2Un-5nxn+ 19/4n-40/4

il me reste toujours le 1/2Un
je ne vois pas continuer

Merci d'avance suis-je sur la bonne voie ?

Tu as dû te tromper dans les calculs pour trouver les coefficients a, b et c de la suite \(\left ( v_{n} \right )\).
Essaie de les reprendre, je trouve des valeurs entières. Si tu bloques, écris nous tes calculs.
En tout cas, ces erreurs expliquent que tu ne t'en sortes pas avec \(\left ( w_{n} \right )\).
En ce qui concerne la suite \(\left ( w_{n} \right )\), tu peux montrer que c'est une suite géométrique sans utiliser la forme explicite de \(\left ( v_{n} \right )\).
Tu écris la relation (R) pour \(\left ( u_{n} \right )\) et, en-dessous, tu écris la relation (R) pour \(\left ( v_{n} \right )\). Puis tu soustrais membre à membre et la relation de récurrence d'une suite géométrique devrait apparaître après quelques simplifications.

Bon courage

SoSMath

Bonjour,
j'ai refais plusieurs fois mes calculs; c'est donc le départ que est Faux
j'ai écris : anxn +bn +c
pour uo =20 donc c=20
pour U1 =13 a+b+20= 13
pour U2 =21/ 4a +2b+20 = 21/2
j'ai donc résolu le sytème :

a+b==-7
4a+2b=-19/2
et j'ai trouvé a=9/4 b=-37/4

cequi me donne
Vn = 9/4nxn-37/4n+20

cela doit être faux puisque je n'arrive pas à faire la suite mais je ne trouve pas la faute.

Merci de vos conseils

Bonjour Marguerite,

Je pense que tu as pris des informations en trop pour trouver Vn.

Vn doit vérifier deux choses :

Être de la forme : \(an^2 +bn+c\)

et

(R) \(V_{n+1}=\dfrac{1}{2}V_n +n^2 + 3\)

Rien ne te dit que \(V_0=20\).

Commence par écrire sous forme explicite \(V_{n+1}\).

Bon courage !

bonjour,

je m'excuse mais j'aime arriver au bout de mon travail.
J'ai donc écris :
Vn+1 = 1/2(an^2 +bn +c) +n^2 +3
donc
V1= 1/2c +3 =13
V2 = 1/2(a+b+c)+1+3=21/2
v3 = 1/2(4a+2b+c) +4+3 = 49/4

et j'ai résolu le système
je trouve c=20 et
a + b = -7
8a+4b = -19
donc a= 9/4 et b =- 37/4
vous me dites que je dois trouver des valeurs entières et ce n'est pas le cas; j'ai donc faux et je ne vois pas où

Je commence à désespérer !

Merci beaucoup d'aider une élève si nulle mais qui désire y arriver

Attention !

Il ne faut pas confondre (Un) et (Vn).

U0=20 ; U1=13 ... Oui mais ce n'est peut-être pas le cas pour Vn...

Effectivement, V1=(1/2)c+3 mais rien ne te dit que V1=13, c'est U1 qui est égal à 13, pas V1...

(Vn) vérifie la relation R et est de la forme \(an^2 +bn+c\) mais on ne dit rien sur V0. Comprends-tu ?

L'idée est plus de partir de là :

\(V_n = an^2 + bn + c\). Ensuite, il faut écrir \(V_{n+1}\) en fonction de \(n\). (en remplaçant n par n+1...)

Bon courage !

bonsoir,

je crois que j'ai trouvé !

Vn = 2nxn+9n+18

Merci beaucoup ouf j'ai mis du temps !

Bonjour,
moi je trouve \(b=-8\).
En effet quand on "identifie", on a \(0,5a+1=a\) donc \(a=2\)
puis \(2a+b=0,5b\) donc \(b=-8\)
puis \(a+b+c=0,5c+3\) donc \(c=18\).
On teste ensuite si la suite \(V_n=2n^2-8n+18\) vérifie bien la relation \(V_{n+1}=0,5V_n+n^2+3\)
As-tu cela ?

bonjour et bon dimanche
oui j'ai bien trouvé ce que vous dites mais j'ai tapé un autre résultat

Merci beaucoup de votre aide