SOS-MATH

Bonsoir,
pourriez-vous me dire si cet exercice est juste
Comparaison de fonctions
Soit les fonctions f et g définies sur IR par les expressions :f(x) =x4−3x+ 1 et g(x) = 2x3−3x−1
Le but de l’exercice est de comparer ces deux fonctions.
1. On considère la fonction définie par d(x) =f(x)−g(x). Déterminer l’expression de la fonction d.
2. Dresser le tableau de variation de la fonction d.
3. Quel est le minimum de la fonction d sur IR ? En déduire le signe de d(x) pour tout x réel, et conclure

1) d(x)= f(x)-g(x)
= x4 -3x+1-2x3 +3x+1
=x4 -2x3
donc d(x)= x4 -2x3

2) On calcule la dérivée d'(x)= 4x3 – 6x2
= x2 ( 4x-6)
On cherche les valeurs qui annulent la dérivée
d'(x) =0 → x2 =0 → x=0
4x-6= 0 x= 6/4 = 3/2 = 1,5

tableau de variation
x -oo 0 1,5 +oo

d'(x) + 0 - 0 +

d(x) +oo descend 0 descend -1,688 remonte +oo

3) Donc le minimum se situe d(1.5) = -1.688
le signe de d(x) il est positif de crochet ouvert +oo; 0]
négatif crochet ouvert 0;2 crochet ouvert
positif crochet ouvert 2; +oo crochet ouvert

en conclusion les fonctions f, g et d sont confondues de crochet ouvert 2; +oo crochet ouvert en regardant sur la calculette. est ce qu'il faut faire une démonstration ou donner une explication du fait que d soit f -g ?

merci pour votre aide

Bonsoir Patricia,
1) Attention pour le calcul de d(x), tu as oublié +2.
2) Ok pour le calcul de d'(x).
Mais reprends le signe de d'(x); cela doit être une étourderie car les variations de d sont bonnes.
3) Reprends ton calcul de d(1,5) avec la correction du 1)....
Bon courage.
Sos-math.

Bonsoir
merci pour le 1
2) tableau de signe
x -oo 0 1.5 +oo
x2 + 0 + +
4x-6 - - 0 +
d'(x) - - +

d(x) +oo descend 2 descend 0.3125 remonte +oo

3)
le minimum en d(1.5)= 0.3125
le signe de d(x) est positif pour tout x réel
mais je ne vois pas comment conclure pourriez vous me donner une piste de réflexion

merci

Bonjour,
ton étude est tout à fait correcte.
Tu as montré que la fonction \(d\) admettait pour minimum un nombre positif ce signifie que pour tout réel \(x\) tu as \(d(x)\geqslant 0,3125\geqslant 0\) donc ta fonction d est toujours ..... ce qui signifie que f(x)-g(x) est ... donc que f est ..... à g donc que la courbe de f est .... de celle de g.
Bonne conclusion

Bonsoir ,
merci la conclusion est donc

la fonction d est toujours positive ce qui signifie que f(x)-g(x) est croissante donc que f est supérieure à g donc que la courbe de f est au dessus de celle de g.
merci encore de votre aide

Bonjour, c'est ça sauf qu'il te faut remplacer croissante par positif.
Bonne journée.

Bonsoir,

Un grand merci pour votre précieuse aide

Bonne soirée