les réels interchangeables

[yann]

Bonjour SOS math,
Bon samedi après - midi

pour chaque coupe de réels (a,b) , on note la fonction définie sur par la fonction\(f(x) = a - \sqrt{x - b}\)

deux réels distincts u et v sont interchangeables s'il existe au moins un couple (a,b) tel que la fonction
associée à ce couple est telle que f(u) = v et f(v) = u

1- démontrer que 2 et 3 sont interchangeables . 4 et 7 le sont ils ?
2- pour deux réels distincts
démontrer que si u et v sont interchangeables alors u = v + 1 ou v = u + 1



deux réels sont interchangeables s'il existe au moins un couple (a, b) et tel qu'on ait le système :
\(a - \sqrt{u + b} = v\)
\(a - \sqrt{v + b} = u\)

donc on suppose que u et v sont 2 entiers distincts (par exemple u > v)
2 et 3 sont interchangeables s'il existe au moins un couple (a,b) tel qu'on ait le système :

\(f(2) = 3 <=> a - \sqrt{2 - b} = 3\)(1)

\(f(3 ) = 2 <=> a - \sqrt{3 - b} = 2\)(2)

je soustrais 1 par 2
\(a - \sqrt{2 - b} - (a - \sqrt{3 - b}) = 3 - 2\)

\(a - \sqrt{2 - b} - a + \sqrt{3 - b} = 1\)

\(-\sqrt{2 - b} +\sqrt{3 - b} = 1\)

\(\sqrt{2 - b} - \sqrt{3 - b} = - 1\)

j'élève au carré

\((\sqrt{2 - b})^{2} - (\sqrt{3 - b})^{2} = (- 1)^{2}\)

\(- 2b - 1 = 1 <=> b = 1\)

je remplace la valeur de b dans (1)

\(a - \sqrt{2 - b} = 3\)
ce qui donne \(a - \sqrt{2 - 1} = 3\)

\(a^{2} -( \sqrt{3})^{2} = 3^{2}\)

\(a ^{2} = 9 + 3 <=> a = \sqrt{12}\)


la deuxième question :
on souhaite démontrer que si u et v sont interchangeables alors u = v + 1 ou v = u + 1

[SoS-Math(9)]

Bonjour Yann,

ton "élévation au carré" est fausse .... (a-b)² = a²+ b² - 2ab et non a²-b² !

SoSMath.

[yann]

Bonjour SOS 9

merci de m'avoir répondu

\(a - \sqrt{2 + b} - (a -\sqrt{3 + b} = 3 - 2\)

\(a - \sqrt{2 +b} - a + \sqrt{3 + b} = 1\)

\(-\sqrt{2 + b} +\sqrt{3 + b} = 1\)

je simplifie l'écriture

\(\sqrt{3 + b} - \sqrt{2 + b} = 1\)

maintenant je cherche la valeur de b
et pour faire tomber les racines , j'élève au carré chaque membre

\(\sqrt{3 + b}^{2} - \sqrt{2 +b}^{2} = 1^{2}\) d'où \(3 + b - 2 + b = 1\)

merci pour votre aide !!

[SoS-Math(33)]

Bonsoir yann,
ton élévation au carré est encore fausse (a-b)² = a²+ b² - 2ab et non a²-b²
Reprend ton calcul
Bonne soirée

[yann]

Bonsoir SOS 33

\((\sqrt{3 + b}) ^{2} + (\sqrt{2 + b})^{2} - 2 ( \sqrt{3 + b}) (\sqrt{2 + b})\)

\((3 + b ) - ( 2 + b) - 2 (\sqrt{3 + b} )(\sqrt{2 + b})\)

j'ai encore deux racines que je cherche à éliminer

bon samedi

[SoS-Math(25)]

Bonsoir Yann,

Il y a une erreur :

\((3 + b ) + ( 2 + b) - 2 (\sqrt{3 + b} )(\sqrt{2 + b})=1\)

Commence par simplifier : \((3 + b ) + ( 2 + b)\), cela va t'aider.

A bientôt !

[yann]

Bonsoir SOS 25

merci de m'avoir répondu

\(5 + 2 b - 2 (\sqrt{3 + b})(\sqrt{2 + b} = 1\)

\(2b - 2 (\sqrt{3 + b})(\sqrt{2 + b}) = - 4\)

\(b - (\sqrt{3 + b}) ( \sqrt{2 + b} ) = -2\)

j'ai toujours mes 2 racines carrées

bonne soirée !

[SoS-Math(25)]

Ensuite, pour se passer des racines, il faudrait élever au carré.
Pour cela, enlève b de chaque côté pour ne laisser que les racines à gauche puis tu peux élever au carré pour supprimer les racines. (Attention aux subtilités de signes...)

Tu devrais aboutir à une équation du second degré.

Bon courage !

[yann]

Bonsoir SOS 25

\(b - ( \sqrt {3 + b}) ( \sqrt {2 + b}) = - 2\)

\(b - b- (\sqrt{3 + b}) (\sqrt{2 + b}) = - 2 - b\)

\(- (\sqrt{3 + b}) (\sqrt{2 + b}) = - 2 - b\)


\(- (\sqrt{3 + b})^{2} (\sqrt{2 + b})^{2} = (- 2)^{2} - b^{2}\)

\(-(3 + b)(2+b) = 4 + b^{2}\)

\(- ( 6 + 3b + 2 b + b^{2} )= 4 + b^{2}\)



\(-6 - 5 b - b^{2} = 4 + b^{2}\)

\(-10 = 2 b^{2}+ 5 b\)

je vois pas comment je peux avoir mon b

[SoS-Math(25)]

Il y a une erreur dans le développement des carrés.
Une erreur de ma part aussi, tu devrais aboutir sur une équation du premier degré en fait... :

\(-\sqrt{3+b}\sqrt{2+b}=-2-b\)... OK !
Ensuite, si tu élèves au carré, il le faire pour chaque membre de l'équation :
\((-\sqrt{3+b}\sqrt{2+b})^2=(-2-b)^2\)

Bon courage !

[yann]

Bonjour SOS 25

\(-\sqrt{3 + b}\sqrt{2 +b} = -2 - b\)

j'élève au carré pour faire sauter les 2 racines
ce qui donne
\((-\sqrt{3 + b}\sqrt{2 +b})^{2} = (-2 - b)^{2}\)

\(- (3 + b )(2 +b) = (4 + b^{2} -2 (-2) b)\)

\((- 3 - b) ( 2 + b) = (4 + b^{2} + 4 b)\)

je développe

\(- 6 - 3b - 2b + b^{2} = 4 + b^{2} + 4b\)


je regroupe les expressions

\(-10 + b^{2 } - b^{2} = 10 b\)

b = 1

c'est OK ?

bonne après midi

[SoS-Math(33)]

Bonjour yann,
tu as une erreur dans le développement au carré de membre de gauche.
\((-\sqrt{3 + b}\sqrt{2 +b})^{2} = (-2 - b)^{2}\)
te donne
\((3 + b )(2 +b) = (4 + b^{2} -2 (-2) b)\) , le signe moins disparait quand tu élèves au carré.
Reprend ton calcul à partir de la et tu vas obtenir le résultat.
Bonne journée.