trouver beta avec la forme canonique

[yann]

Bonjour

tout tri nôme du second degré sous la forme développée \(f(x) = a x^{2}+ b x + c\)
peut se mettre sous la forme canonique \(f(x) = a \left(x - \alpha \right)^{2}+ \beta\)

avec \(\alpha = -\frac{b}{2a}\)et \(\beta =\frac{-b^{2} -4 a c }{4a}\)

j'aimerai trouver l'expression \(\frac{-b^{2 }- 4a c}{4a}\)

en remplaçant \(\beta =\frac{-b^{2} -4 a c }{4a}\) dans la forme réduite

ce qui me donne \(a(x - (-\frac{b}{2a}))^{2}+ \beta\)

je développe \(a(x ^{2} - x * (-\frac{b}{2a})- x * (-\frac{b}{2a}) + (-\frac{b}{2a})^{2}) + \beta\)




je simplifie un peu pour avoir \(a(x ^{2} - (2 * x * (-\frac{b}{2a}))+ (-\frac{b}{2a})^{2}) + \beta\)

je n'arrive pas à poursuivre avec \((-\frac{b}{2a})^{2}\)
est ce que c'est \((-\frac{b^{2}}{4a^{2}})\)
je suis un peu embêté avec ce signe - à l'intérieur de la parenthèse

pouvez - vous m'aidez s'il vous plait ??

yann

[SoS-Math(33)]

Bonjour Yann,
le signe - est à l'intérieur de la parenthèse donc il est impacté par le carré.
Rappelle-toi -x- donne + donc \((-\frac{b}{2a})^{2}\) = \((\frac{b^{2}}{4a^{2}})\)

[yann]

Bonjour SOS 33

merci de m'aider

\(a(x ^{2} - (2 * x * (-\frac{b}{2a}))+ (-\frac{b}{2a})^{2}) + \beta\)

donc comme \((-\frac{b}{a})^{2}= \frac{b^{2}}{4a^{2}}\)

\(a\begin{bmatrix} x^{2}- (2 *x*(-\frac{b}{a}))+ \frac{b^{2}}{4a^{2}} \end{bmatrix} + \beta\)

\(a\begin{bmatrix} x^{2}+ 2 *(\frac{b}{a})x+ \frac{b^{2}}{4a^{2}} \end{bmatrix} + \beta\)


au niveau de l'écriture c'est OK ??

[SoS-Math(33)]

Bonjour Yann,
au niveau de l'écriture c'est ça sauf que tu as perdu un "2" en cours de route au dénominateur au niveau de :\((-\frac{b}{a})^{2}= \frac{b^{2}}{4a^{2}}\), c'est \((-\frac{b}{2a})^{2}= \frac{b^{2}}{4a^{2}}\) et aussi au niveau de \((-\frac{b}{a})\) qui est \((-\frac{b}{2a})\), ce qui doit te donner au final \(a\begin{bmatrix} x^{2}+ 2 *(\frac{b}{2a})x+ \frac{b^{2}}{4a^{2}} \end{bmatrix} + \beta\)

[yann]

Ok
merci de m'avoir répondu

je continue à \(a[x ^{2} + 2 * (\frac{b}{2a})x+ \frac{b^{2}}{4a^{2}}]+ \beta\)




le but est de trouver la valeur de Beta

donc \(\beta = - [a[x ^{2} + 2 * (\frac{b}{2a})x+ \frac{b^{2}}{4a^{2}}]]\)

[SoS-Math(33)]

Fait attention Yann, tu as oublié la question du départ.
Tu avais \(f(x) = a x^{2}+ b x + c\) et tu veux l'identifier à \(f(x) = a[x ^{2} + 2 * (\frac{b}{2a})x+ \frac{b^{2}}{4a^{2}}]+ \beta\) pour trouver la valeur de \(\beta\).
Il te faut penser à l'égalité des deux écritures.

[yann]

Ok

je reprends \(f(x) = a x ^{2}+bx +c\)(forme développée)

et \(f(x) = a(x - \alpha )^{2}) + \beta\)(forme canonique)

donc \(a x ^{2}+bx +c = a(x - \alpha )^{2}) + \beta\)


soit \(ax^{2}+ bx +c = a\begin{bmatrix} x^{2}+2 * (\frac{b}{2a})x + \frac{b^{2}}{4a^{2}} \end{bmatrix}+\beta\)

[SoS-Math(33)]

Oui Yann c'est ça.

[yann]

merci SOS 31

dans cette expression -----> \(a\begin{bmatrix} x^{2}+2 * (\frac{b}{2a})x + \frac{b^{2}}{4a^{2}} \end{bmatrix}+\beta\)

je dois trouver \(\beta = -\frac{b^{2}- 4 a c}{4a}\)

est ce que je peux faire \(a\begin{bmatrix} x^{2}+2 * (\frac{b}{2a})x \end{bmatrix}- \frac{b^{2}}{4a} +\beta\)

[SoS-Math(33)]

Attention Yann quand tu distribues a sur \(\frac{b^{2}}{4a^{2}}\) et que tu le sors du crochet le signe ne change pas

[yann]

Bonsoir SOS 31


\(a\begin{bmatrix} x^{2} + 2 * (\frac{b}{2a})x+\frac{b^{2}}{4a^{2}} \end{bmatrix}+\beta\)

je peux éliminer les 2

ce qui donne\(a\begin{bmatrix} x^{2} + \frac{b}{a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}} \end{bmatrix}+\beta\)

je vais essayer de mettre au meme dénominateur
\(a\begin{bmatrix} x^{2} + (\frac{4ab}{4a^{2}})x+\frac{b^{2}}{4a^{2}} \end{bmatrix}+\beta\)




il faut faire apparaitre \(\beta = -\frac{b^{2}- 4ac}{4a}\)

j'ai pas l'impression que je suis sur la bonne voie

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Yann,

Je ne comprends pas ce que tu fais ...

\(ax^2+bx+c\)
= \(a(x^2+\frac{b}{a}x)+c\)
= \(a(x^2+2\frac{b}{2a}x+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2})+c\) car \(\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}=0\)
= \(a[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}]+c\)
= \(a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a}+c\)

et donc \(\beta=-\frac{b^2}{4a}+c\)

SoSMath.

[yann]

Bonsoir SOS 31

cette démonstration je l'ai comprise

je voulais faire une autre démonstration

on sait que pour calculer la forme canonique on a \(\alpha = -\frac{b}{2a}\)
et\(\beta = -\frac{b^{2} - 4 a c }{4a}\)

en remplaçant \(\alpha = -\frac{b}{2a}\) dans \(a (x - \alpha )^{2} + \beta\)

c'est à dire \(a (x - (-\frac{b}{2a}) )^{2} + \beta\)
et ensuite je développe en espérant trouver la valeur de Beta

[SoS-Math(25)]

Bonsoir Yann,

Effectivement, en développant \(a (x - (-\frac{b}{2a}) )^{2} + \beta\), tu devrais trouver, par identification :

\(c = \beta + \dfrac{b^2}{a}\)

Tu sais que la forme développée est \(ax^2 + bx + c\)

Tu as aussi : \(a(x^2 +2\times \dfrac{b}{2a}x + \dfrac{b^2}{4a^2})+\beta\)

Développe simplement cette dernière forme en distribuant le coefficient a. Après quelques simplifications, tu devrais avoir :

\(ax^2 + bx + ?\) où ? est forcément égal à c.

Bon courage !

[yann]

Bonsoir SOS (25)

je reprends
à partir de \(a \begin{pmatrix} x^{2} + 2 * (\frac{b}{2a}) x + \frac{b^{2}} {4a^{2}}\end{pmatrix} + \beta\)

je simplifie les 2

ce qui donne \(a \begin{pmatrix} x^{2} + (\frac{b}{a}) x + \frac{b^{2}} {4a^{2}}\end{pmatrix} + \beta\)

je développe

j'obtiens \(a x^{2} + b x + \frac{b^{2}}{4a}+ \beta\)