démontrer que tous les polynômes peuvent se mettre sous f CA

[yann]

Bonjour

J'ai fait cette démonstration en début d'année et je ne sais plus la terminer

démontrer que toutes les fonctions polynômes du second degré peuvent se mettre
sous la forme canonique
\(f(x) = a x ^{2}+bx +c\) avec \(a \in R^{*}\) , \(b \in R\)

comme a différent de 0 alors on peut factoriser par a

\(f(x) = a\begin{bmatrix} x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} \end{bmatrix}\)

de plus \(x^{2}+\frac{b}{a}x\) est le début de développement de l'identité remarquable \(\begin{pmatrix} x + \frac{b}{2a} \end{pmatrix}^{2}\)

\(\begin{pmatrix} x+\frac{b}{2a} \end{pmatrix}^{2}-\left(\frac{b}{2a} \right)^{2}\)

j'injecte la relation dans le polynôme

\(a\begin{bmatrix} (x+\frac{b}{2a})^{2}-\left(\frac{b}{2a} \right)^{2}+\frac{c}{a} \end{bmatrix}\)

\(a\begin{bmatrix} \left(x+\frac{b}{2a} \right)^{2}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}+\frac{c}{a} \end{bmatrix}\)

\(a\begin{bmatrix} \left(x+\frac{b}{2a} \right)^{2}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}+\frac{4ac}{4a^{2}} \end{bmatrix}\)

je ne sais pas additionner les 2 fractions
\(-\frac{b^{2}}{4a^{2}}\)
et
\(\frac{4ac}{4a^{2}}\)

[SoS-Math(9)]

Bonjour Yann,

Tes fractions ont le même dénominateur, donc il suffit d'additionner les numérateurs !

Juste une remarque : \(+\frac{4ac}{4a^2}=-\frac{-4ac}{4a^2}\).

SoSMath.

[yann]

Bonjour SOS 9

merci de m'avoir répondu

désolé ,mais je ne comprends toujours pas \(-\frac{-4ac}{4a^{2}}\)
je ne vois pas du tout
l'opposé c'est plutôt \(-\frac{4ac}{4a^{2}}\)

\(f(x) = a\begin{bmatrix} (x+\frac{b}{2a}^{2}- \frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{-4ac}{4a^{2}} \end{bmatrix}\)

\(f(x) = a\begin{bmatrix} (x+\frac{b}{2a}^{2}- \frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{4ac}{4a^{2}} \end{bmatrix}\)

[SoS-Math(32)]

Bonjour,
Tu as :
\({-{{b²}\over{4a²}}}+{{4ac}\over{4a²}}={-{{b²}\over{4a²}}}-{{-4ac}\over{4a²}}\).
Fais attention à ne pas oublier un signe - .
Ensuite, tu peux factoriser par (-1) en "mettant" le - devant le résultat des fractions que tu additionnes.
Bon courage.
Sos-math.

[yann]

Bonjour SOS 31

merci de m'avoir répondu


on arrive ici \(-\frac{b^{2}}{4a^{2}} - \frac{-4ac}{4a^{2}}\)

puis je factorise par (-1) en mettant le (-1) devant le résultat des fractions
ce qui donne \(-(\frac{b^{2}}{4a^{2}} + \frac{-4ac}{4a^{2}})\)

est ce que c'est OK ,,

[SoS-Math(33)]

Bonjour Yann,
oui c'est bien ce que tu as fait.

[yann]

Bonjour SOS 33

merci de m'avoir répondu et bon samedi

ce que je ne comprends pas c'est \(\frac{-4ac}{4a^{2}}\)

c'est le - qui est devant le numérateur qui me bloque

j'air réussi à le faire en début d'année mais là c'est ce signe - que je ne comprends pas

[SoS-Math(32)]

Bonjour Yann,
C'est comme si tu écrivais -3+5=-3-(-5)=-(3-5).
Je ne sais pas si j'ai bien compris ce qui te gênait.
Après en additionnant les 2 fractions ayant le même dénominateur, tu retrouveras le discriminant au numérateur.
A bientôt,
Sos-math.

[SoS-Math(33)]

Le signe - te bloque pour additionner les deux fractions? ou tu ne comprends pas d'où il vient?
Si c'est pour l'addition, un petit rappel: + suivi de - donne -
Ce rappel te débloque t'il?

[yann]

Bonjour SOS 33
bon samedi

tout d'abord merci beaucoup pour votre aide

- je sais additionner 2 fractions (c'est vu depuis la sixième donc je sais le faire)
- je sais que + suivi de - donne -
si je peux me permettre le problème n'est pas là
\(a\begin{bmatrix} (x + \frac{b} {2a} )^{2}- \frac{b^{2}} {4a^{2}} +\frac{ 4ac}{4a^{2}} \end{bmatrix}\)

\(a\begin{bmatrix} (x + \frac{b} {2a} )^{2} \end{bmatrix} + \frac{b^{2}} {4a} -\frac{ 4ac}{4a}\)

est ce que je peux écrire cela

[SoS-Math(9)]

Bonjour Yann,

Tu as écrit cela :

on arrive ici \(-\frac{b^{2}}{4a^{2}} - \frac{-4ac}{4a^{2}}\)

puis je factorise par (-1) en mettant le (-1) devant le résultat des fractions
ce qui donne \(-(\frac{b^{2}}{4a^{2}} + \frac{-4ac}{4a^{2}})\)

est ce que c'est OK ,,

Ce qui était très bien.
Je ne comprends pas ce que tu veux en plus ?

SoSMath.

[yann]

bonjour SOS 9

\(-\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{-4a c}{4a^{2}}\)

\(-\begin{pmatrix} \frac{b^{2}}{4a^{2}}+\frac{-4a c}{4a^{2}} \end{pmatrix}\)

cette démonstration je l'ai vu dans un bouquin de première S

par contre , depuis le début d'année , voilà ce que je fait :

\(a x^{2}+ bx + c = a\begin{bmatrix} x^{2}+ \frac{b}{a}x +\frac{c}{a} \end{bmatrix}\)

comme \(x^{2}+ \frac{b}{a}x\) est le début du développement de \((x + \frac{b}{2a})\)

\(\begin{pmatrix} x + \frac{b}{2a} \end{pmatrix}^{2}- \frac{b^{2}}{4a^{2}}\) que j'injecte dans le polynôme

\(a\begin{bmatrix} (x + \frac{b}{2a})^{2}-\frac{b^{2}}{4a^{2}} +\frac{c}{a} \end{bmatrix}\)

ensuite je mets sous le meme dénominateur
\(a\begin{bmatrix} (x + \frac{b}{2a})^{2}-\frac{b^{2}}{4a^{2}} +\frac{4a c}{4a^{2}} \end{bmatrix}\)

\(a\begin{bmatrix} (x + \frac{b}{2a})^{2} -\begin{pmatrix} \frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{4a c}{4a^{2}} \end{pmatrix} \end{bmatrix}\)

par contre dans la première démonstration (celle que j'ai vu dans le livre)
je ne comprends pas ce petit - devant 4 ac

[SoS-Math(9)]

Yann,

c'est assez simple ... soustraire c'est additionner l'opposé !
Donc\(\frac{b^2}{4a^2}-\frac{4ac}{4a^2} = \frac{b^2}{4a^2}+\frac{-4ac}{4a^2}\) car l'opposé de \(\frac{4ac}{4a^2}\) est \(\frac{-4ac}{4a^2}\).

SoSMath.

[SoS-Math(33)]

Bonjour Yann
je crois que ton problème vient du fait que tu as oublié la règle suivante:
\(-\frac{4a c}{4a^{2}}=\frac{-4a c}{4a^{2}}=\frac{4a c}{-4a^{2}}\)

[yann]

Bonsoir

merci beaucoup à SOS 33 et à SOS 9 pour la patience que vous avez eut avec moi !!
vous avez trouvé mon problème

par contre , cette règle est vu en quelle année ??

je suis dans un très bonne classe , cette année
alors qu'en collège , je ne m'intéressais pas trop aux mathèmatique (donc ça vient peut être de là )

en tout cas , merci infiniment pour votre aide , ça évitera aussi de faire rire toute la classe quand je suis interroger au tableau

je vous souhaite un excellent samedi après midi