déterminer le nombre réel m pour que l'équation ait deux rac

[yann]

Bonsoir SOS math

merci pour votre présence

x² + m(m+3)x + m3 = 0
déterminer le nombre réel m pour que l'équation ait 2 racines A et B tel que A² = B

je vais essayer la méthode des solutions

a = 1
b = m (m+3)
c = m3
delta = [m(m+3)]² - 4 m 3 = [m² + 3m]² - 4 m3 = m 4 + 6 m 3 + 9 m ² - 4m3
= m² ( m² + 2 m + 9) qui est tout le temps positif
si m est négatif ,comme j'élève au carré , c'est toujours positif

c'est exact ??
je suis sur la bonne voie ??

[sos-math(21)]

Bonjour,
pour être sûr que ton discriminant est positif, tu peux étudier le signe de \(m^2+2m+9\) en résolvant l'équation \(m^2+2m+9=0\).
Tu dois obtenir un discriminant négatif qui t'assure l'absence de racines et un signe constant positif pour le trinôme \(m^2+2m+9\).
Donc oui, tu es sur la bonne voie.

[yann]

Bonsoir SOS 21

j'ai trouvé le discriminant m² ( m² + 2 m + 9)
je sais que m² sera toujours positif , quel que soit la valeur de m

pour être sur que le discriminant soit positif , je calcule le discriminant de ( m² + 2 m + 9)

delta = b² - 4 ac = 4 - 4 *9 = 4 - 36 = - 32

j'obtiens donc un discriminant donc absence de racines

[sos-math(21)]

Bonjour,
C'est cela donc ton trinôme est de signe constant, celui de \(a=1\) (coefficient devant \(m^2\)), donc positif.
Tu as donc un discriminant \(m^2(m^2+2m+9)\) strictement positif.
Bonne continuation

[yann]

Bonjour,

\(x^{2}+m(m+3)x+m^{3}\)
trouver m de façon à ce que l'équation ait 2 racines A et B telles que \(A^{2}=B\)

méthode 1
on sait que le produit de 2 racines donne c/a = \(m^{3}= A * B\)comme \(A^{2}=B\) j'obtiens \(A^{3}= m^{3}\)
donc A = m

on sait que la somme de 2 racines donne \(-m(m+3) = A + B\)
\(-m(m+3) = m + m^{2}\)

il faut résoudre\(m(m+3) - m - m^{2} = 0\)

par contre je n'arrive pas à continuer
méthode 2

il faut trouver la valeur de m telles que \(A^{2}=B\)
je décide de travailler avec les solutions

\(∆ = m^{2}(m^{2}+2m +9)\)


\(B = \frac{-m(m+3) + \sqrt{∆}}{2}\)

\(A^{2}=B\)

\(\begin{pmatrix} \frac{-m(m+3) -\sqrt{\Delta }}{2} \end{pmatrix}^{2}=\frac{-m(m+3) +\sqrt{\Delta }}{2}\)

\(\frac{(-m(m+3) -\sqrt{\Delta })^{2}}{4}=\frac{-m(m+3) +\sqrt{\Delta }}{2}\)

je multiplie chaque membre par 4 dans le but d'éliminer le 4 du dénominateur du membre de gauche

j'obtiens ceci \(4 * \frac{(-m(m+3) -\sqrt{\Delta })^{2}}{4}=4 * \frac{-m(m+3) +\sqrt{\Delta }}{2}\)

est ce que je dois mettre des parenthèses ??

est ce que j'ai le droit d'écrire cela ??

[SoS-Math(25)]

Bonjour Yann,

Ton raisonnement montre une très bonne compréhension de cette notion.

Pour la méthode 1, développe \(~m(m+3)-m-m^2\), tu verras apparaître une équation assez simple.

Pour la méthode 2, tu dois effectivement conserver les parenthèses.

Bon courage !

[yann]

Bonjour SOS 25

\(m^{2}+3m - m - m^{2}=0\)

\(2m = 0\)

donc m = 0

et si m = 0
en remplaçant dans \(x^{2}+m(m+3) x + m^{3}\)

on a \(x^{2}= 0\)

[yann]

Bon dimanche


\(A = \frac{-m(m+3) -\sqrt{\Delta }}{2}\)

\(B = \frac{-m(m+3) +\sqrt{\Delta }}{2}\)


\(\begin{pmatrix} \frac{-m(m+3) -\sqrt{\Delta }}{2} \end{pmatrix}^{2}=\frac{-m(m+3)+\sqrt{\Delta }}{2}\)

\(\frac{\begin{pmatrix} -m(m+3)-\sqrt{\Delta } \end{pmatrix}^{2}}{(2)^{2}}=\frac{-m(m+3)+\sqrt{\Delta }}{2}\)


c'est bien cette propriété ??
j'utilise la propriété

\(\begin{pmatrix} \frac{a}{b} \end{pmatrix}^{2}\) = \(\frac{\begin{pmatrix} a \end{pmatrix}^{2}}{\begin{pmatrix} b \end{pmatrix}^{2}}\)

[sos-math(21)]

Bonjour,
oui cette propriété est correcte.
J'ai peur que cela soit compliqué avec les racines.
Avec les sommes et les produits, c'était plus simple mais tu as fait une erreur : tu dois avoir \(-m(m+3)=m^2+m\) ce qui donne \(2m^2+4m=0\) et tu trouves deux solutions.
Si tu veux travailler avec les racines, je te conseille d'utiliser le fait que \(A\) est une racine ce qui signifie que :
\(A^2+m(m+3)A+m^3=0\) donc que \(A^2=-m(m+3)A-m^3\) donc \(B=-m(m+3)A-m^3\) mais je trouve cela encore bien compliqué....

[yann]

Bonjour SoS 21

Bon dimanche


\(-m(m+3) = m +m^{2}= 0\)

\(-m(m+3) - m - m^{2}= 0\)

\(-2m^{2}-4m = 0\)

je n'obtiens pas \(2m^{2}+4m = 0\)

je dois être mal réveillé !!

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu multiplies les deux membres de ton équation par -1 et tu retrouves ce que je te proposais.
Bonne continuation

[yann]

Bonnjour SOS 21

merci de m'avoir répondu

\(-2m^{2}-4m = 0\)

je multiplie les 2 membres de l'équation par -1
\(-\begin{pmatrix} -2m^{2}-4 \end{pmatrix}=0\)

\(2m^{2}+4 = 0\)

[yann]

Bonjour monsieur,

j'ai quand même envi de poursuivre la méthode des solutions

je me lance

\(\begin{pmatrix} \frac{-m(m+3) - \sqrt{\Delta }}{2} \end{pmatrix}^{2}=\frac{-m(m+3)+\sqrt{\Delta }}{2}\)

\(\frac{\begin{pmatrix} -m(m+3) -\sqrt{\Delta } \end{pmatrix}^{2}}{4}=\frac{-m(m+3)+\sqrt{\Delta }}{2}\)

je multiplie les 2 membres par 4

et donc je vais mettre des grandes parenthèses

\(4 * \begin{pmatrix} \frac{\begin{pmatrix} -m(m+3) - \sqrt{\Delta } \end{pmatrix}^{2}}{4} \end{pmatrix} = 4 * \begin{pmatrix} \frac{-m(m + 3 ) + \sqrt{\Delta }}{2} \end{pmatrix}\)

ce qui permet d'éliminer le 4 du dénominateur pour le membre de gauche

j'obtiens \(\begin{pmatrix} -m( m + 3 ) - \sqrt{\Delta } \end{pmatrix}^{2} = 2 * \begin{pmatrix} - m ( m + 3 ) + \sqrt{\Delta } \end{pmatrix}\)

maintenant je vais développer mon identité remarquable du membre de gauche
et je peux aussi développer le membre de droite

\(\begin{pmatrix} - m( m + 3) \end{pmatrix}^{2} - 2 \begin{pmatrix} -m ( m + 3 ) \end{pmatrix} * \sqrt{\Delta } + \begin{pmatrix} \sqrt{\Delta } \end{pmatrix}^{2} = -2 m (m + 3 ) + 2 \sqrt{\Delta }\)

\(-\begin{pmatrix} a \end{pmatrix}^{2} = a\)

donc \(m^{2}(m + 3 )^{2} + 2 m (m + 3) \sqrt{\Delta } + \Delta = -2 m ( m + 3 ) +2 \sqrt{\Delta }\)

je remplace ∆ par \(m^2 ( m ^2 + 2m + 9 )\)

\(m^{2}(m + 3 )^{2} + 2m ( m + 3 ) \sqrt{\Delta } + m^{2}(m^{2} + 2 m + 9 ) = - 2m ( m + 3 ) + 2 \sqrt{\Delta }\)

\(m^{2}(m + 3 )^{2} + m^{2}(m^{2} + 2 m + 9 ) + 2m ( m + 3 ) = 2 \sqrt{\Delta } - 2 m (m + 3 ) \sqrt{\Delta }\)

je peux mettre 2 en facteur dans le membre de droite

\(m^{2}(m + 3 )^{2} + m^{2}(m^{2} + 2 m + 9 ) + 2m ( m + 3 ) = 2 \begin{pmatrix} \sqrt{\Delta } - m ( m + 3) \sqrt{\Delta } \end{pmatrix}\)

je peux mettre aussi \(\sqrt{∆}\) en facteur

ce qui donne \(m^{2}(m + 3 )^{2} + m^{2}(m^{2} + 2 m + 9 ) + 2m ( m + 3 ) = 2 \sqrt{\Delta } \begin{pmatrix} 1 - (m (m + 3 ) \end{pmatrix}\)

maintenant je vais factoriser avec m

\(m \begin{pmatrix} m(m + 3 )^{2} + m(m^{2} + 2 m + 9 ) + 2 ( m + 3 )\end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 1 - (m (m + 3 ) \end{pmatrix} \sqrt{\Delta }\)

je remplace ∆ par \(m^2 + 2m + 9\)

\(m \begin{pmatrix} m(m + 3 )^{2} + m(m^{2} + 2 m + 9 ) + 2 ( m + 3 )\end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 1 - (m (m + 3 ) \end{pmatrix} \sqrt{m^{2}(m^{2}+ 2 m + 9 })\)

il faudrait enlever la racine carré qui est dans le membre de droite

Avez - vous une idée ??

[sos-math(21)]

Bonjour
tu as oublié le \(m\) dans ta multiplication par -1.
Pour la méthode des racines, les calculs semblent compliqués et je ne suis pas sûr qu'il n'y ait pas d'erreur.
Reprends bien tes calculs depuis le début.
Pour faire sauter une racine carrée, il n'y a qu'une solution : élever au carré.
Bonne continuation

[yann]

Bonjour monsieur , madame,


\(m^{2}(m + 3)^{2} + m^{2}(m^{2} + 2m + 9) + 2 m(m+3) = 2\sqrt{\Delta }- 2m (m + 3) \sqrt{\Delta }\)

\(m^{2}(m + 3)^{2} + m^{2}(m^{2} + 2m + 9) + 2 m(m+3) = 2\begin{pmatrix} \sqrt{\Delta }- m (m + 3) \sqrt{\Delta }\end{pmatrix}\)

\(m^{2}(m + 3)^{2} + m^{2}(m^{2} + 2m + 9) + 2 m(m+3) = 2\begin{pmatrix} 1- m (m + 3)\end{pmatrix} \sqrt{\Delta }\)

ensuite je mets en facteur m

\(m \begin{bmatrix} m(m + 3)^{2} + m (m^{2} + 2m + 9) + 2 (m+3)\end{bmatrix} = 2\begin{pmatrix} 1- m (m + 3)\end{pmatrix} \sqrt{\Delta }\)

je remplace ∆ par \(m^2(m^2 +2 m + 9)\)

ce qui donne \(m \begin{bmatrix} m(m + 3)^{2} + m (m^{2} + 2m + 9) + 2 (m+3)\end{bmatrix} = 2\begin{pmatrix} 1- m (m + 3)\end{pmatrix} \sqrt{m^{2}(m^{2}+2m + 9) }^{2}\)

donc pour faire sauter la racine --------> j'ai élevé au carré

\(\begin{bmatrix} m \begin{bmatrix} m(m + 3)^{2} + m (m^{2} + 2m + 9) + 2 (m+3)\end{bmatrix}\end{bmatrix}^{2} = \begin{bmatrix} 2\begin{pmatrix} 1- m (m + 3)\end{pmatrix}\end{bmatrix}^{2} * m^{2}(m^{2}+2m + 9)\)

\(m^{2}\begin{bmatrix} m(m + 3)^{2}+ m (m^{2} + 2m + 9) + 2 (m + 3) \end{bmatrix}^{2} = 4 \begin{pmatrix} 1 - m(m + 3) \end{pmatrix}^{2} * m^{2} (m^{2}+ 2m + 9)\)


pouvez - vous me dire si c'est Ok ? (au niveau de la rédaction)

après je n'y arrive plus