coordonnées du milieu d'un segment

[yann]

Bonsoir

dans un repère (O,I,J)
on note P une parabole d'équation y = x2 et Dm la droite d'équation y = 2x + m

on sait que quand m= -1 dm est tangente à P

lorsque Dm coupe P en deux points M et N, distincts ou non , on note I le milieu de [MN]

a) calculer en fonction de m les coordonnées de I

je pense que pour trouver les coordonnées il faut connaitre les coordonnées de M et de N en fonction de m

pouvez vous m'aidez , s'il vous plaît ??

[sos-math(21)]

Bonjour,
trouver les coordonnées des points d'intersection de la droite et de la courbe revient à résoudre l'équation \(\underbrace{x^2}_{\text{parabole}}=\underbrace{2x+m}_{\text{droite}}\)
Je te laisse résoudre cette équation du second degré qui te donnera les abscisses de M et N en fonction de \(m\)
Bon courage

[yann]

lorsque Dm coupe la parabole en deux points M et N , on note i le milieu de MN
a) trouver les coordonnées de I en fonction de m

pour trouver les coordonnées des points d'intersection de la droite et de la parabole il faut résoudre l'équation x² = 2 x + m
-x² + 2x + m = 0
Δ = 2 ² - 4 * m * (-1) = 4 + 4 m


\(x 1 =\dfrac{- 2+ \sqrt{4+4m }}{2}\)
\(x 2 =\dfrac{- 2- \sqrt{4+4m }}{2}\)

[SoS-Math(31)]

Bonjour Yann,
C'est bien tu as calculé le discriminant mais avant de calculer les racines du polynôme, il faut déterminer le signe de ce discriminant.
Pour quelle valeur de m a-t-on 4 + 4 m> 0?
Cette question entraine une discussion sur le nombre de solutions de ton équation en fonction de m.

[yann]

Bonjour SOS 31

merci de m'avoir répondu aussi rapidement

j'ai tracé les représentations graphiques de Dm et de la parabole à l'aide de Grapher sur Mc Intosh

j'ai pu voir que pour m = - 1 Dm est une tangente à la parabole y = x2

si m = -1 on a delta = 4 + 4 * (-1 ) = 0

je suis un peu perdu parce que les discriminant que je trouve d'habitue ce sont des chiffres
et , dans cet exercice , il y a ce ' m' qui me perturbe un peu

[SoS-Math(31)]

oui, ton delta n'est pas un nombre mais une expression qui dépend de m. delta = 4m +4 > 0 ssi 4m > -4 ssi m > - 1.
On discute alors suivant les valeurs de m.
Si m < - 1 : le delta est négatif l'équation n'a alors pas de solutions.
Si m = - 1: Le delta vaut 0 et il y a une seule solution. As toi de la calculer.
Si m > - 1: le delta est positif alors

\(x 1 =\dfrac{- 2+ \sqrt{4+4m }}{2}\)
\(x 2 =\dfrac{- 2- \sqrt{4+4m }}{2}\)

A demain.

[yann]

Bonsoir SOS 31

Oups!
j'ai oublié de simplifier les racines


\(x1 = \frac{- 2 +\sqrt{4+4m}}{2}\)

en admettant la propriété \(\frac{a + b}{c}= \frac{a}{c}+\frac{b}{c}\)

d'où \(\frac{-2 }{2} + \frac{\sqrt{4+4m}}{2}= -1 + \frac{\sqrt{4+4m}}{2}\)

pour l'autre racine

\(x2 = \frac{- 2 - \sqrt{4 +4m}}{2}= \frac{-2}{2} - \frac{\sqrt{4+4m}}{2}=-1 - \frac{\sqrt{4+4m}}{2}\)

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu peux encore améliorer la forme de tes racines : \(\sqrt{4+4m}=\sqrt{4(1+m)}=...\times\sqrt{1+m}\) et cela te simplifiera la fraction.
Bon calcul

[yann]

Bonjour Sos 21

Ok

\(\sqrt{4+4m}\) c'est évident (j'aurais dû le voir !!!)

cela donne \(\sqrt{4(1 +m)}\)

on met 4 en facteur

ensuite j'applique la propriété \(\sqrt{a * b}= \sqrt{a }* \sqrt{b}\)

\(\sqrt{4(1+m)}= \sqrt{4}*\sqrt{(1+m)} = 2 * \sqrt{(1+m)}\)

j'aurais dû voir cela tout de suite !!!!

bon dimanche sos (21)

[sos-math(21)]

Bonjour,
Oui, c'est cela.
Bonne continuation pour cet exercice

[yann]

Bonsoir SOS math

je viens de me rendre compte qu'il y a eut une erreur lors du calcul des racines
\(\left\lbrace\begin{matrix} y = x^{2}\\ y = 2x + m \end{matrix}\right.\)

j'avais trouvé comme racines
\(x1 = \frac{-2 + \sqrt{4+4m}}{2}\)

\(x1 = \frac{-2 - \sqrt{4+4m}}{2}\)

ce qui est faut pour le dénominateur

c'est plutôt
\(- x^{2 }+ 2x + m = 0\)

∆ = 4 + 4m
à quelle condition 4+ 4m > 0 ?
∆ = 4 + 4m > 0 si et seulement si 4 > -4m si et seulement si m > -1

\(x1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta }}{2a}\)

\(x1 = \frac{-2 - \sqrt{4+4m }}{-2}\)

c'est - 2 au dénominateur

puis je simplifie
\(x1 = \frac{-2}{-2} - \frac{\sqrt{4+4m}}{-2}= 1 - \frac{\sqrt{4+4m}}{\sqrt{-4}} = 1 - \sqrt{\frac{4+4m}{4}} = 1 - \sqrt{1 + m}\)

[sos-math(21)]

Effectivement,
j'avais laissé mes collègues faire la suite du post et je ne m'étais pas prononcé sur les solutions.
Donc c'est bien ce que tu proposes.
Bonne conclusion