DM de Maths inégalité triangulaire

[Jade]

Bonjour

Nous n'avons pas encore étudié les inégalités triangulaires alors je bloque sur l'exercice 1. Dois-je remplacer x et y par un nombre positif au hasard pour montrer que l'inégalité est vraie pour x et y positifs ?

[SoS-Math(30)]

Bonjour Jade,

Si tu prends un exemple pour x et y positifs, tu auras vérifié l'égalité dans un seul cas particulier alors que tu dois prouver l'égalité pour tous les réels x et y positifs ce qui présente une infinité de cas que tu ne peux donc vérifier un par un.
Que sais-tu sur \(\left | x\right |\) lorsque x est positif ?
Que sais-tu sur \(\left | y\right |\) lorsque y est positif ?
Lorsque x et y sont positifs, quel est le signe de x + y ? Dans ce cas, que vaut \(\left | x+y \right |\) ?

SoSMath

[jade]

Je vous remercie pour votre aide.
1) L'inégalité est vraie pour x et y positifs car
lorsque IxI est positif IxI = x
lorsque IyI est positif IyI = y
lorsque x et y sont positifs x + y est positif.

Si Ix+yI = x + y et IxI + IyI = x + y alors Ix+yI = IxI + IyI
Par conséquent cette inégalité est vérifiée.

C'est cela ?

[SoS-Math(30)]

C'est bien cela.

[Jade]

2) L'inégalité est vraie lorsque x et y sont négatifs car
Lorsque x est négatif IxI = -x
Lorsque y est négatif IyI = -y
Lorsque x et y sont négatifs alors x+y est négatif

Si Ix+yI = après je sèche

[SoS-Math(30)]

Si x+y est négatif alors \(\left | x+y \right |=-\left ( x+y \right )\)=...
Je te laisse poursuivre.

SoSMath

[Jade]

C'est gentil merci

Si x+y est négatif alors Ix+yI = - (x+y) = -x-y
et IxI + IyI = -x + (-y) = -x -y

Donc Ix+yI = IxI + IyI l'inégalité est donc vérifiée

C'est correct ?

[SoS-Math(30)]

C'est bien cela.

[Jade]

super merci
3 )
lorsque x est positif IxI = x
lorsque y est négatif IyI = -y
a) Le 2éme membre s'écrit IxI + IyI = x - y
- Comparer x et - x si x est positif
x est supérieur ou égal à - x
- comparer y et - y si y est négatif
y = -y car
y = - (-y)
b) Si x+y est positif
Ix+yI = x + y
dans le 2éme membre de l'inégalité IxI + IyI = x - y je peux remplacer y par - y donc
IxI + IyI = x - (-y) = x + y
Le 1er membre est donc égal au 2éme membre, l'inégalité est vérifiée . Je ne suis pas du tout sûre de mon coup ....

[Jade]

Ah non plutôt

si x + y est positif
Ix +yI = x + y

Si y est négatif :
x + y donne x - y
et x - y donne x - (-y) = x + y

donc l'inégalité est vérifiée car x- y est inférieur ou égal à x + y

[jade]

je pense avoir fini l'exercice 1
B )

1 a ) Par disjonction de cas
Si a est supérieur ou égal à 0 alors IaI = a
IaI 2 = a2
Si a est inférieur ou égal à 0 alors IaI = -a
IaI 2 = (-a) 2
IaI = a2
Donc pour tout réel a IaI2 = a2
b) Ix+yI 2 = x2 + 2xy + y2
( IxI + IyI )2 = x2 + 2IxI . IyI + y2

2 ) on a Ix+yI inf ou égal à IxI + IyI revient à Ix+yI 2 inf ou égal à (IxI + IyI)2
x2 + 2xy + y2 inf ou égal à x2 +2IxI . IyI + y2
xy inf ou égal à IxI . IyI
xy inf ou égal à IxyI
cette dernière égalité étant toujours vraie alors on a bien Ix+yI inf ou égal à IxI + IyI

[SoS-Math(30)]

Bonsoir Jade,

Pour la fin de la partie A question 3a : on est d'accord pour \(\left | x \right |+\left | y \right |=x-y\) et \(-x\leq x\) puisque x est positif.
Par contre tu commets une erreur en disant que y = -y. Cela n'est vrai que pour y = 0 !
Si y est négatif alors -y est positif. Ainsi on a \(y\leq 0 \leq -y\) et donc \(y\leq -y\).
Ainsi pour la question b, tu peux facilement justifier que \(x+y\leq x-y\).
Pour la question c, tu peux facilement justifier que \(-x-y\leq x-y\).

SoSMath

[SoS-Math(30)]

Pour la partie B, ok pour la question 1a, il manque juste un carré dans la dernière égalité mais ce doit être un oubli.
La suite est correcte.
L'inégalité triangulaire est équivalente à l'inégalité portant sur les carrés car tous les membres de l'inégalité de départ sont positifs.
C'est très bien.

SoSMath