polynome de troisième degrés

[yann]

1 .soit le polynôme P(x)= x³-x²-80x+300 conjecturer le nombre de racines de ce Polynôme
expliquer la méthode

2.Développer et reduire l'expression (x-5 ) (ax² +bx +c)

3.en déduire l'existence de 3 réels a ,b et c tel que pour tout réel x
P(x) = (x-5)(ax²+bx+c)

question 1
un polynome de degré n (exposant le plus élevé des X) a au maximum n racines
mais je ne sais pas si le fait de dire a au plus n racines répond bien à la question
puisque on dit qu'il faut expliquer la méthode
question 2
(x-5) (ax² +bx +c) = (ax³ + bx² +cx ) ( -5x²-5 bx -5c)
= ax³ + x²( b -5 ) + x ( c -5 b) -5c
je développe en utilisant la distributivité
puis je regroupe par puissances
d'abord x³ puis x²

[SoS-Math(31)]

Bonjour Yann,
Question1 : Effectivement ce n'est pas une conjecture mais déjà l'utilisation d'une propriété. Il y a plusieurs méthodes pour approcher le nombre de solutions.
Question 2 : Tu as oublié un "a" dans le coefficient de x².

[yann]

Bonsoir monsieur,

(ax³ + bx² +cx ) ( -5 a x²-5 b x -5c)

je factorise pour rassembler les coefficients de X 3 de x2 et de x et évidemment -5 c qui est coefficient de x°
et n regroupant par puissance a x³ + x² (b -5 a) +x ( c -5 b ) -5c

en utilisant le théorème d'égalité entre 2 polynômes
x³-x²-80x+300

a = 1 a =1
b-2a =1 b = 1 + 2 =3
c-5b = -80 c = -80 +15 = - 65
-5c = 300
j'ai l'impression que ça n'est pas le bon résultat

pour la première question je ne comprends pas bien ce que notre professeur nous demande par conjecturer
tôt ce que je sais ------> un polynôme de degré n (exposant le plus élevé des x ) a au maximum n racines

et on vérifie avec la dernière égalité -5 * (-65) = 325

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu dois avoir
\(ax^3+(b-5a)x^2+(c-5b)x-5c=x^3-x^2-80x+300\).
Il faut ensuite identifier terme à terme

b-2a =1 b = 1 + 2 =3

Tu dois avoir une erreur pour le \(b\).
Quoiqu'il arrive, pour vérifier tu peux redévelopper ton polynôme factorisé pour vérifier qu'il est égal à la fonction de départ.
Bonne correction

[yann]

bonjour monsieur,

oui effectivement
j'ai écrit b -2a = 1

j'ai écrit 2 à la place du 5
ce qui donne
b - 5a = 1

en utilisant le théorème d'égalité entre 2 polynômes

b = 1 + 5 =6

c- 5 b = -80
en remplaçant b par 6
j'obtiens c - 30 = -80
c = -80 + 30 = -50

-5c qui est coefficient x°
- 5 c = 300
en remplaçant c par - 50
on obtiens - 5 * -50 = 300
300 = 300
on a bien une égalité ce qui prouve que les valeurs de a , de et de c sont exactes

[sos-math(21)]

Bonjour,
il y a une erreur :

- 5 * -50 = 300

, cela devrait faire 250 !
En fait ton erreur vient à la base de \(b-5a=-1\) ce qui ne donne pas \(b=1\) et les erreurs s'enchaînent.
Reprends cela

[yann]

Bonsoir monsieur,
a=1
b-5a = -1
b = -1 +5 = 4

en remplaçant b par la valeur 4
c-5b = -80
c -20 = -80
c = -80 +20 = -60

-5 c qui est coefficient x°
-5c = 300

et la en remplaçant c par la valeur trouvé un peu plus haut
on obtient bien l'égalité
-5 * -60 = 300

[yann]

Bonsoir Monsieur,

j'ai donc trouvé A =1
b = 4
et c= - 60
je remplace par les valeurs obtenues dans
a x³ + x² (b -5 a) +x ( c -5 b ) -5c

x³ + x² (4 -(5 *1)) +x ( (-60) -5 * 4 ) -5 * (-60)
x³ + x² (-1) +x ( -80 ) +300

on retrouve bien P(X)
est ce bien cela?

[sos-math(21)]

Bonjour,
cela m'a l'air correct.
Bonne continuation