SOS-MATH

Bonjour,

Je n'arrive pas à résoudre l'exercice suivant :

Soit (un) la suite définie pour tout entier naturel par n par un=racine de (n+1) - racine de n.

1.a. Démontrer que, pour tout n supérieur ou égal à 0, un supérieur à 0.
b. Démontrer que (un) est décroissante.

Peut-on utiliser la formule qui s'applique des sur des termes positifs ? Si oui, je n'arrive pas à l'utiliser.

c. En déduire que u(n) est bornée.

Je n'y arrive pas...

2. Pour tout n supérieur ou égal à 0, on pose Sn=u0+u1+...+un.
a. Etudier la monotonie de la suite (Sn).

Je n'y arrive pas non plus...

b. Conjecturer la limite de la suite (Sn).

Merci pour votre aide !

Bonsoir Antoine,
1) a) Comme n + 1 > n, il suffit d'utiliser la croissance de la fonction racine carrée.
b) indication : u\(_{n}\) = f(n) avec f(x) = racine(x+1) - racine(x). u et f ont les mêmes variations.
c) voir indication b)
2) a) Calculer S\(_{n+1}\) - S\(_{n}\)

Merci pour votre réponse.

OK pour la question a !

Pour la b), peut-on plutôt calculer u(n+1)/u(n) ?

c) La suite est minorée par 0 d'après la question a), mais je n'arrive pas à démontrer son majorant, qui est 1 je pense. Comment l'expliquer ?

2)a. Je vais faire le calcul.

Merci pour votre aide.

Bonjour,

Auriez-vous le temps de répondre à mes autres questions ?

Merci d'avance !

Bonjour,
en fait à la question b), la méthode étais indiquée :

\(u_n = f(n)\) avec \(f(x) = \sqrt{x+1} - \sqrt{x}\). \(u\) et \(f\) ont les mêmes variations.

il n'est pas nécessaire d'en chercher une autre.

Pour trouver la limite, as tu essayé d'utiliser un tableur ou un tableau de valeur, ou un algorithme pour faire une conjecture ? C'est le meilleur moyen !
à bientôt

Oui mais je pense que c'est mieux de le faire avec le quotient comme il est indiqué que tous les termes sont positifs, non ?

J'aimerais bien connaître la méthode pour comparer ce quotient à 1 !

Pourriez-vous me donner les premières lignes de calcul s'il vous plait ?

Merci d'avance.

Bonjour Antoine,
Pour utiliser le quotient:
1) il faut vérifier que un est non nul pour tout n !
2) Ensuite seulement il faut montrer que le quotient est supérieur à 1 (car d'après a) un > ou 0)
mais ce point 2 est plus difficile car avec l'utilisation de l'expression conjuguée de racine(n+1) - racine(n) on trouve :
\(\frac{(\sqrt{n+2} - \sqrt{n+1})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{(n+1)-n}\)
Le dénominateur est égale à 1 mais il faut montrer que le numérateur est inférieur à 1.

C'est plus simple en utilisant variation de f sur [0;+ infini[

Pour la majoration :
Comme u est décroissante, u est majorée par u\(_{0}\) = racine(1) - racine(0) = 1.

Voici ce que j'ai fait, car la méthode du quotient m'est imposée...

De plus, on a bien démontré que tous les termes sont positifs, donc on peut effectivement utiliser cette méthode.

Après la quantité conjuguée, on a donc u(n+1)/u(n)=racine(n+2)*racine(n+1)+racine(n+2)^racine(n)-n-1-racine(N+1)*racine(n). Comment démontrer que c'est inférieur à 1 ?

Pour la question 2/a, voici ce que j'ai fait :

S(n+1)-S(n)=u0+u1+...+u(n+1)-(u0+u1+...+u(n))=u0+u1+...+u(n)+u(n+1)-u0-u1-...-u(n)=u(n+1). Est-ce bon ? Que dire après ?

Pourriez-vous répondre à mon sujet sur les sphères intitulé trigonométrie ? Merci beaucoup pour tout.

Peux tu donner l'énoncé exact de la question 1b) car dans ton 1er mail il n'y aucune référence à la méthode pour montrer u décroissante.
Question 2 :
Oui, S(n+1) - S(n) = u(n+1). En utilisant la question1) a) tu peux trouver le signe de cette différence.

Pour la question 2/a., il faut dire que tous les termes sont positifs donc que u(n+1) est positif, donc que S(n+1) - S(n) est bien positif. La suite est donc croissante.

L'énoncé est complet, mais mon professeur nous a très fortement conseillé de faire la méthode du quotient, sinon on n'aura pas tous les points...

De plus, je n'arrive pas à utiliser le tableur pour conjecturer la limite de la suite S(n). Comment faire ?

Merci pour votre aide.

C'est bien pour la question2a).
Pour la conjecture sur tableur : dans la 1ère colonne rentre les n (0 à ...)
dans la deuxième les u ( par exemple en B1"= racine A2 - racine A1)
dans la troisième colonne cumules les u (en C1 rentrer B1 et en C2 = C1 + B2 ensuite "recopier" cette formule pour les suivante

Merci.

Et donc comment faire pour la méthode du quotient ?

une possibilité si il faut passer par le quotient même si ce n'est pas la plus simple :
Le dénominateur étant strictement positif
\(\frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}< 1\) équivaut à \(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}< \sqrt{n+1}-\sqrt{n}\) donc a \(\sqrt{n+2}+\sqrt{n}< 2\sqrt{n+1}\). En élevant au carré et en simplifiant tu dois arriver à une inégalité toujours vraie. A toi de continuer.

Merci beaucoup. Et par curiosité, pouvions-nous utiliser la méthode de la différence ? Si oui, comment ?

Merci !