produits scalaires

[ashitaka]

bonjour,

Les droites (AE) et (AC) sont perpendiculaires en A. Soit D et B appartennant respectivement à (AE) et (AC). On a AB = AD et AC = AE
Soit I et J les milieux respectifs de (EB)et (DC), démontrer que (AI) est perpendiculaire à (CD) et (AJ) est perpendiculaire à (BE)

les produits scalaires AI.CD et AJ.BE sont donc égaux à 0 mais je n'arrive pas à le démontrer...

merci

[SoS-Math(30)]

Bonjour,

Pour le premier produit scalaire (pour le deuxième ce sera le même raisonnement), peux-tu montrer facilement que \(\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\left ( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE} \right )\). Sans doute, l'as tu vu en cours, c'est une conséquence de la règle du parallélogramme.
Ensuite, tu décomposes le vecteur \(\overrightarrow{CD}\) en \(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}\).
Tu obtiens ainsi à développer le produit scalaire suivant : \(\frac{1}{2}\left ( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE} \right ).(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD})\)

SoSMath

[ashitaka]

merci beaucoup !

j'ai un second exercice..."Soit la droite d d'équation x-3y+12 = 0, déterminer un équation du cercle C centré sur d et passant par A(2;2) et B(8;4)"
avec un point M(x;y) j'ai déterminé les vecteurs AM et BM car leur produit scalaire est égal à 0 (je crois), j'ai donc trouvé x(x-6)+y(y-2)+24 = 0. Mais je pense que c'est juste mais que ce n'est pas la réponse attendue.

[SoS-Math(9)]

Bonsoir ashitaka,

Je ne comprends d'où vient votre équation x(x-6)+y(y-2)+24 = 0.
Si on a \(\vec{AM}.\vec{BM}=0\) alors on obtient (x-2)(x-8) + (y-2)(y-4) = 0 soit x(x-10) + y(y-6) + 24 =0.

Problème : [AB] est-il un diamètre de ton cercle ?

SoSMath.

[ashitaka]

Ah oui, petite erreur de calcul...

et bien oui quand je trace la figure A et B sont alignés et on voit bien le cercle de diamètre AB mais je ne sais pas le justifier

[sos-math(27)]

Bonjour Ashitaka,
Je reprends la question : le cercle doit avec son centre qui appartient à la droite d, ainsi que les points A et B : il faut vérifier (avant de chercher l'équation du cercle) quel les points A et B appartiennent à la droite d, ainsi le centre du cercle, A et B seront bien alignés, et donc [AB] sera un diamètre.
Ensuite tu peux inscrire ta recherche d'équation du cercle.
à bientôt

[ashitaka]

je ne comprends pas comment vérifier que A et B appartiennent bien à la droite,
et les coordonnées du centre du cercles ne sont pas précisés

[SoS-Math(31)]

Bonjour Ashitaka,
Pour vérifier que A et B appartiennent à la droite, il faut vérifier que leurs coordonnées vérifie l'équation de la droite c.-à-d. pour A, prend x = 2 et y = 2 et calculer x -3y + 12 et vérifier que le résultat est bien 0.

[ashitaka]

oui c'est bien ce que j'avais fais mais dans les deux cas ce n'est pas égal à 0 mais à 8

[SoS-Math(31)]

Pourquoi veux tu que A et B appartiennent à la droite d ?
J'ai relu ton énoncé, et je pense que tu l'as mal lu : A et B appartiennent au cercle.
Pour savoir si [AB] est le diamètre du cercle, il faut calculer les coordonnées du milieu I de [AB] et vérifier si I est le centre di cercle et d'après l'énoncé vérifier si I appartient à d.

[ashitaka]

ce n'est pas précisé dans l'énoncé que A et B appartiennent au cercle

[sos-math(20)]

Si, on te parle du cercle centré sur d et passant pas A et B dans ton énoncé.

SOSmath

[ashitaka]

pour prouver que [AB] est le diamètre peut-on dire que le produit scalaire AM.BM = 0 et que par conséquent le triangle AMB est rectangle en M ?

[SoS-Math(31)]

En fait en faisant \(\overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BM}=0\), tu trouves directement l'équation du cercle de diamètre [AB]

[ashitaka]

bah c"est ce que j'ai fais dès le début alors ?
mais quand je remplace x et y par les coordonnées de I dans l'equation de d ça donne encore 8...