Dérivation

[ashitaka]

Bonjour !
L'énnoncé de mon devoir de se présente ainsi "ABCD est un carré de côté 1, C est le quart de cercle de centre A et de rayon AB contenu dans le carré. T est un point de C, la tangente à C en T coupe [BC] en N. On note x = DM et y = BN."

a) Démontrer que MN² = x² + y² - 2x - 2y + 2
Je l'ai démontré facilement avec le théorème de pythagore mais c'est à la question b) que je bloque : "Etablir que MN = MT + TN = x + y"
Je ne sais pas comment m'y prendre, qu'elle "technique" utiliser.

Merci d'avance !

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu sais que T appartient à ton segment \([MN]\), donc dans ce cas, l'inégalité triangulaire est une égalité : \(MN=MT+TN\)
Ensuite, comme tu as une tangente à un cercle, celle-ci est perpendiculaire au rayon du point de contact.
Tu as donc des angle droits donc des triangles rectangles en T dans lesquels tu peux appliquer le théorème de Pythagore :

Je te laisse terminer.
Bon courage

[ashitaka]

Merci beaucoup ! effectivement ça devient beaucoup plus clair.
Il faut ensuite déduire des questions a) et b) l'expression de y en fonction de x puis exprimer MN en fonction de x.
Donc, si MN = x + y
y = MN - x, je n'arrive pas à aller plus loin je retombe toujours sur y = y ...

[sos-math(21)]

Tu as donc montré que \(MN=x+y\) donc \(MN^2=(x+y)^2\)
Or \(MN^2=x^2+y^2-2x+2y+2\)
Ces deux expressions sont donc égales et tu pourras alors supprimer les \(x^2,\,y^2\) et tu pourras ensuite exprimer \(y=....\) en fonction de \(x\)
Bon courage