SOS-MATH

Bonsoir, j'ai un exercice noté à rendre mais je ne sais pas comment le commencer, pourriez-vous m'éclaircir? L'exercice est le suivant:

On considère la parabole P d'équation y = x² et le point A (1/2 ; 5/4)
On cherche à déterminer la position du point de la parabole le plus proche de A.

Merci de votre aide.
Louison

Bonjour Louison,


Il va te falloir deux notions :

La première : Connais-tu un moyen de calculer la distance entre deux points avec leurs coordonnées ?

La deuxième : Les points situés sur la parabole ont tous le même type de coordonnées : (x;x²).

A partir de à, tu vas pouvoir obtenir une inéquation.

Bon courage !

Je ne comprends pas ces deux notions.

Bonjour Louison,

Pour la première notion, tu as dû voir cette formule en seconde : \(AM^{2}=\left ( x_{M}-x_{A} \right )^{2}+\left ( y_{M}-y_{A} \right )^{2}\).
Si M est un point de la parabole alors \(y_{M}=x_{M}^{2}\). Si l'on appelle \(x\) l'abscisse de M, peux-tu exprimer AM² en fonction de \(x\) en remplaçant les coordonnées de A par leurs valeurs ?

SoSMath

Bonsoir, alors si on a AM² = (xm -xa)² + (ym-ya)²
AM² = (xm - (1/2))² + (ym - (5/4))² et vu que ym = x²m alors AM² = (xm - (1/2))² + (x²m - (5/4))²

Est-ce juste ??
Merci.

Oui Louison et pour alléger les notations, tu peux poser \(x_{M}=x\).

SoSMath

D'accord, alors à partir de ça comment pourrais-je déterminer la position ??

Bonjour Louison,
Commence par calculer et simplifie l'expression de cette distance entre les points de la parabole et le point A, quand tu auras une expression, il faudra expliquer quand est-ce que cette expression est minimale (la plus petite possible)...
à bientôt

Bonjour, désolé du retard de ma réponse, j'ai eu une semaine d'examen en science et en littérature.
Alors si je reprends, on arrive à :

AM² = (x - (1/2))² + (x² - (5/4))² --> AM² = x²-x+(1/4) + x^4-(5/2)x²+ 25/16 d'où AM² = x^4-(3/2)x²-x+29/16

Donc AM = racine de (x^4-(3/2)x²-x+(29/16)
Est-ce juste??

Bonjour Louison,
Oui, c'est juste. Maintenant tu peux étudier les variations de ton expression pour connaitre le minimum.

Donc AM = racine de (x^4-(3/2)x²-x+(29/16) . Pour étudier le signe de AM on dérive : on fait AM' = racine de (4x^3-3x-1) je ne sais pas comment déterminer son signe car quand je calcule Delta les racines sont impossibles vu que ici a=0 . de l'aide svp.

Bonsoir, j'ai essayé de faire mon devoir de maths (en pièce jointe) de mon côté mais je n'y arrive vraiment pas, j'aimerais que vous m'aidiez s'il vous plait.

Je vous remercie de votre aide.

Je n'ai toujours pas avancé de l'aide svp.

Bonjour,
\(f(x)=\sqrt{x^4-1,5x^2-x-\frac{29}{16}}\), c'est cela ?
Quand on dérive on a une dérivée de la forme \((\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}\) donc f'(x)=\(\frac{4x^3-3x-1}{2\sqrt{x^4-1,5x^2-x-\frac{29}{16}}}\)
Comme le dénominateur de \(f'(x)\) est positif, le signe de cette dérivée est donné par le signe de son numérateur.
On peut donc commencer par résoudre l'équation \(4x^3-3x-1=0\)
C'est une équation polynomiale de degré 3 donc tu ne peux pas utiliser le discriminant !
Je t'aide un peu en te demandant de prouver que \(4x^3-3x-1=(x-1)(4x^2+4x+1)\)
Une fois que tu auras prouvé cela (un simple développement suffira), tu pourras construire le tableau de signe de \((x-1)(4x^2+4x+1)\).
Bon courage

Bonjour, alors les deux solutions sont x=1 et x= -1/2

Alors en construisant mon tableau de signe je trouve que c'est de -infini à -1/2 puis négatif encore de -1/2 à 1 et positif de 1 à +infini. Donc f est décroissante de -infini à 1 puis croissante de 1 à +infini . 1 atteint un minimum en racine de 5/4. Alors la position du point de la parabole le plus proche de A est racine de 5/4.
Mais j'ai une question quels sont les étapes qui vous ont permis de factoriser 4x^3-3x-1 car je n'arrive pas à factoriser cette expression. J'ai essayé de faire la partie logiciel à l'aide de geogebra mais je ne comprends vraiment pas comment faire.

Merci d'avance.