SOS-MATH

Bonjour !
Mon professeur de mathématiques m'a donné un DM sur le suites pour la rentrée, seulement je bloque un peu... J'ai fait ce que je pouvais mais je comprends pas comment faire pour déterminer le sens de variation des suites. Si vous pouviez me donner quelques pistes afin de répondre aux questions que je n'ai pas réussies je vous en serai très reconnaissante.
Merci d'avance,
Maya

Voici l'énoncé :

1. La suite (\(u_{n}\)) est définie pour tout entier naturel n, par \(u_{n}\) = \(2^{n}\) - 40n - 20.

a) Ecrire un programme sur Algobox, en utilisant la boucle Pour qui permet d'afficher les 10 premiers termes de la suite.

Cette question est faite, voici le script de l'algorithme :

1 VARIABLES
2 n EST_DU_TYPE NOMBRE
3 Un EST_DU_TYPE NOMBRE
4 DEBUT_ALGORITHME
5 POUR n ALLANT_DE 0 A 9
6 DEBUT_POUR
7 Un PREND_LA_VALEUR pow(2,n)-40*n-20
8 AFFICHER Un
9 FIN_POUR
10 FIN_ALGORITHME

b) Déterminer la différence \(u_{n+1}\) - \(u_{n}\) et en déduire que la suite est croissante à partir du rang 6.

Pour le début de cette question j'ai fait :
\(u_{n+1}\) - \(u_{n}\) = \(2^{n+1}\) - 40(n+1) - 20 - \(2^{n}\) + 40n + 20
\(u_{n+1}\) - \(u_{n}\) = \(4^{n}\) - 40n + 40 - 20 - \(2^{n}\) + 40n + 20
\(u_{n+1}\) - \(u_{n}\) = \(2^{n}\) + 40 \(\geq\) 0
\(u_{n+1}\) - \(u_{n}\) \(\geq\) 0
\(u_{n+1}\) \(\geq\) \(u_{n}\)
J'en déduis que la suite est croissante, ce qui n'est pas en accord avec la réponse demandée ni avec les valeurs trouvées avec l'algorithme...

c) Déduisez de la question précédente que pour tout entier naturel n, si n \(\geq\) 9 alors \(u_{n}\) > 0.

Etant donné que je n'ai pas pu répondre à la question précédente, je ne peux pas faire celle-ci.


2. On note (\(v_{n}\)) la suite définie par \(v_{n}\) = \(2^{n}\) - 20\(n^{2}\)

a) Démontrer que \(v_{n+1}\) - \(v_{n}\) = \(u_{n}\).

Cette question est faite :
\(v_{n+1}\) - \(v_{n}\) = \(2^{n+1}\) - 20\((n+1)^{2}\) - \(2^{n}\) + 20\(n^{2}\)
\(v_{n+1}\) - \(v_{n}\) = \(4^{n}\) - 20(\(n^{2}\) + 2n + \(1^{2}\)) - \(2^{n}\) + 20\(n^{2}\)
\(v_{n+1}\) - \(v_{n}\) = \(2^{n}\) - 20\(n^{2}\) - 40n - 20 + 20\(n^{2}\)
\(v_{n+1}\) - \(v_{n}\) = \(2^{n}\) - 40n - 20 = \(u_{n}\)

b) Déduisez-en le sens de variation de (\(v_{n}\)).

Ici je ne sais pas non plus comment faire mais je pense qu'on doit utiliser les réponses des 1.b) et 1.c) que je n'ai pas réussies.

c) Ecrire un programme sur Algobox, en utilisant la boucle Tant que qui permet d'afficher le rang à partir duquel \(V_{n}\) \(\geq\) 0.

Cette question est faite, voici le script :

1 VARIABLES
2 Un EST_DU_TYPE NOMBRE
3 n EST_DU_TYPE NOMBRE
4 DEBUT_ALGORITHME
5 Un PREND_LA_VALEUR pow(2,n)-20*pow(n,2)
6 TANT_QUE (Un<0) FAIRE
7 DEBUT_TANT_QUE
8 n PREND_LA_VALEUR n+1
9 FIN_TANT_QUE
10 AFFICHER "n="
11 AFFICHER n
12 FIN_ALGORITHME

Bonjour Maya,
Pour la question 1) a) ok
Pour la b), il y a une erreur de calcul, ou plutôt 2 erreurs : \(2^{n+1}=2 \times 2^n \neq 4^n\) et une erreur de signe, il faut revoir cela.

Enfin dans le 2) c), l’algorithme est faux : la condition de la boucle tant que porte sur Un, il faut donc en modifier la valeur dans la boucle...

Pour le reste, je te laisse donc y réfléchir.
à bientôt

Merci beaucoup pour votre réponse rapide !
Alors j'ai trouvé les erreurs de calcul mais je ne comprends toujours pas comment procéder... De plus j'ai fait la même erreur avec \(2^{n-1}\)= \(4^{n}\) au 2.a). J'ai donc tout faux ! J'ai raté les cours lors de cette leçon, je n'ai donc jamais fait d'exercice de ce genre et je ne sais pas quel résultat il faut obtenir ni comment l'interpréter.Pourriez vous me donnez des indices sur la démarche à suivre ? Ensuite pour l'algorithme je ne vois pas trop où se trouve le problème... Il faut que je modifie la valeur de Un et de n dans la boucle ou seulement celle de Un ?
Encore merci de vous être attardé sur mon problème et désolée de vous embêter de nouveau !
Maya

Bonjour,
Peux-tu reprendre le calcul du \(u_{n+1}-u_n\) de la question 1) ?

Ainsi je peux te corriger au fur et à mesure...je reste à l'écoute

D'accord merci ! Alors cela donne :

\(u_{n+1}\) - \(u_{n}\) = \(2^{n+1}\) - 40(n+1) - 20 - \(2^{n}\) + 40n + 20
\(u_{n+1}\) - \(u_{n}\) = \(2^{n+1}\) - 40n - 40 - 20 - \(2^{n}\) + 40n + 20
\(u_{n+1}\) - \(u_{n}\) = \(2^{n+1}\) - \(2^{n}\) - 40

Après je ne sais pas...

Le calcul est juste maintenant, tu peux mettre \(2^n\) en facteur sur les deux premiers termes, tu vas donc obtenir ...
\(u_{n+1}-u_n=2^n(2-1)-40\)
je te laisse continuer

C'est plus clair ! Merci ! On a donc :

\(u_{n+1}\) - \(u_{n}\) = \(2^{n+1}\) - 40(n+1) - 20 - \(2^{n}\) + 40n + 20
\(u_{n+1}\) - \(u_{n}\) = \(2^{n+1}\) - 40n - 40 - 20 - \(2^{n}\) + 40n + 20
\(u_{n+1}\) - \(u_{n}\) = \(2^{n+1}\) - \(2^{n}\) - 40
\(u_{n+1}\) - \(u_{n}\) = \(2^{n}\)(2-1)- 40
\(u_{n+1}\) - \(u_{n}\) = \(2^{n}\) - 40

On on cherche à montrer que la suite est croissante à partir du rang 6 :
Il faut donc résoudre l'inéquation \(2^{n}\) - 40 \(\geq\) 0
Ce qui revient à faire \(2^{n}\) \(\geq\) 40
Or \(2^{5}\) = 32 (inférieur à 40) et \(2^{6}\) = 64 (supérieur à 40)

n étant un entier naturel nous pouvons en déduire que la suite est croissante pour n \(\geq\) 6, soit à partir du rang 6.

Ensuite pour la 1.c), je pense qu'il faut faire comme la question précédente, c'est-à-dire résoudre l'inéquation Un > 0. Est-ce bien cela ?

Et en corrigeant mes erreurs de la 2.a), je trouve :

\(v_{n+1}\) - \(v_{n}\) = \(2^{n+1}\) - 20\((n+1)^{2}\) - \(2^{n}\) + 20\(n^{2}\)
\(v_{n+1}\) - \(v_{n}\) = \(2^{n+1}\) - \(2^{n}\) - 20(\(n^{2}\) + 2n + \(1^{2}\)) + 20\(n^{2}\)
\(v_{n+1}\) - \(v_{n}\) = \(2^{n}\)(2-1) - 20\(n^{2}\) - 40n - 20 + 20\(n^{2}\)
\(v_{n+1}\) - \(v_{n}\) = \(2^{n}\) - 40n - 20 = \(u_{n}\)

A la 2.b) On sait que la suite \(u_{n}\) est supérieure à 0 lorsque n \(\geq\) 9. J'en déduis donc que \(v_{n+1}\) - \(v_{n}\) > 0 lorsque n \(\geq\) 9 et que la suite \(v_{n}\) est croissante à partir du rang 9.

Pour finir, pourriez vous m'expliquer de nouveau ce qui ne va pas dans l'algorithme ?

Beau travail Maya,

Voici ta proposition :

1 VARIABLES
2 Un EST_DU_TYPE NOMBRE
3 n EST_DU_TYPE NOMBRE
4 DEBUT_ALGORITHME
5 Un PREND_LA_VALEUR pow(2,n)-20*pow(n,2)
6 TANT_QUE (Un<0) FAIRE
7 DEBUT_TANT_QUE
8 n PREND_LA_VALEUR n+1
9 FIN_TANT_QUE
10 AFFICHER "n="
11 AFFICHER n
12 FIN_ALGORITHME

J'ai mis en gras ce qui ne va pas, il faut que tu calcules Un dans la boucle, sinon, la condition sera toujours vraie et la boucle ne s'arrêtera jamais.

à bientôt

Merci énormément pour votre aide ! Alors j'ai fait l'algorithme ci-dessous, cependant je ne sais pas s'il faut affecter la valeur 0 ou 1 à n avant la boucle tant que car la première valeur de la suite est 1 et ce n'est qu'après cette valeur que la suite part dans le négatif puis remonte à partir du rang 9 et passe au dessus de 0 au rang 12. Comme 1 est supérieur à 0 l'algorithme resterait bloqué sur cette valeur, mais il me semble que c'est plutôt le douzième rang qui nous intéresse...

1 VARIABLES
2 Un EST_DU_TYPE NOMBRE
3 n EST_DU_TYPE NOMBRE
4 DEBUT_ALGORITHME
5 n PREND_LA_VALEUR 1
6 Un PREND_LA_VALEUR pow(2,n)-20*pow(n,2)
7 TANT_QUE (Un<0) FAIRE
8 DEBUT_TANT_QUE
9 n PREND_LA_VALEUR n+1
10 Un PREND_LA_VALEUR pow(2,n)-20*pow(n,2)
11 FIN_TANT_QUE
12 AFFICHER " et n="
13 AFFICHER n
14 FIN_ALGORITHME


Ensuite je voulais juste vérifier si ce que j'avais fait pour la question 1.c) était bon :

Nous cherchons à montrer que la suite Un passe au dessus de 0 à partir du rang 9 (n \(\geq\) 9).
il faut donc résoudre l'inéquation Un > 0 :
\(2^{n}\) - 40n -20 > 0
Ce qui revient à résoudre \(2^{n}\) - 40n > 20
Or \(2^{8}\) - 40*8 = 256 - 320 = -64 < 20
et \(2^{9}\) - 40*9 = 512 - 360 = 152 > 20

n étant un entier naturel nous pouvons en déduire que la suite Un est supérieure à 0 pour n ≥ 9, soit à partir du rang 9.

Pour l'algorithme, cela semble bien mais il reste à le tester. Le faire partir depuis n=1 semble pertinent.
Tu peux aussi faire en parallèle un fichier tableur pour calculer la suite et ainsi vérifier l'algorithme.

Enfin, pour l'inégalité, c'est cela, mais il faut aussi expliquer que cela restera vrai car \(2^n\) devient 'beaucoup' plus grand que \(40n+20\), et donc que la différence restera positive à partir du rang 9.
à bientôt, bonne soirée Maya

D'accord merci beaucoup pour toute votre aide ! Le résultat est pertinent, je l'avais déjà vérifié avec le tableur.
Bonne soirée
Maya