SOS-MATH

Bonjour
j'ai un exercice sur des fonctions à réaliser et il me pose problème
voici l'énoncé :
Dans un repère orthonormal ( O ; i ; j ) ,
P est la parabole d'équation y= x\(^2\) et A le point de coordonnées (2 ; 0). Le but de l'exercice est de trouver M sur P tel que AM est minimale.

1- x est l'abcisse de M sur P :
vérifier que AM\(^2\) = x\(^4\) + x\(^2\) - 4x +4
J'ai réussi cette question.

2- f est la fonction définie sur R par
f(x) = x\(^4\)+x\(^2\)-4x+4
justifiez que f'(x) est du signe de 2x\(^3\)+x-2
J'ai réussi aussi

3- et c'est là que c'est plus difficile ;
On note g la fonction définie sur R par :
g(x)=2x\(^3\)+x-2

a) Etudier les variations de g et dressez son tableau de variations

Là j'ai deja des problèmes. D'autant plus que la question suivante est : démontre que g(x) = 0 n'a qu'une solution.

Lorsque j'effectue les calculs à la main avec "delta" je trouve qu'il y a 2 solutions ... sur le système de résolution des équations, ma calculatrice trouve 3 solutions ! mais graphiquement, avec la courbe, on ne trouve qu'une solution qui serai proche de 0.8. seulement je n'arrive pas à la trouver par les calculs et je suis donc bloquée pour toute la suite de l'exercice ..

Merci de m'aider

Aurélie

Bonjour,

La dérivée de g est 6x²+1 donc g est strictement croissante.

sos math

Bonjour,

Merci, j'ai vu ça juste après avoir posté mon message !

Seulement pour trouver la solution à l'équation g(x)=0 , j'ai quelques problèmes, je ne sais pas comment m'y prendre.... j'ai essayé avec le calcul de "delta" mais sans succès ..


Merci d'avance,

Aurélie

Bonsoir,
on ne vous demande pas la valeur de la solution mais d'expliquer pourquoi l'équation a une seule solution.
Utilisez pour cela le tableau de variations de votre fonction.
Avez-vous étudier les limites d'une fonction?
Bon courage

Bonjour !

[nous n'avons pas encore étudié les limites...]

j'ai trouvé comment démontrer que g(x)=0 n'a qu'une solution "alpha" comprise entre 0 et 1 comme demandé.

J'ai donc comme demandé déduis les variations de f. f est décroissante sur -\(\infty\) ; "alpha" puis croissante sur "alpha" ; +\(\infty\).
On me demande ensuite de démontrer qu'il existe un seul point M (0) de P d'abscisse "alpha" pour lequel AM (0) est minimale. J'ai donc dit que f admettait un minimum seulement en "alpha" et que donc il n'existait qu'un seul point M de P d'abscisse "alpha" pour lequel AM(0) est minimale

Mais la question suivante est "Démontrez que la tangente à P en M(0) est perpendiculaire à la droite (AM (0))"
Seulement je ne sais pas comment démontrer que 2 tangentes sont perpendiculaires ...
De plus j'ai essayé de calculer l'équation de la tangente à f seulement je trouve des choses impossibles ..

Merci de m'aider

Aurélie

Bonjour Aurélie,

Tout d'abord, ta réponse semble juste !

Pour la question suivante "démontrer que deux droites droites sont perpendiculaires", il faut utiliser le produit scalaire ... as-tu vu cette notion ?

SoSMath.

euuuu je ne m'en souviens pas du tout ! je ne pense pas que nous l'ayons fait ...

Merci

Aurélie

Sans cette notion, cela va être plus difficile ...

Par exemple, tu peux trouver l'équation de la tengante T à P en M(0), puis choisir un point B sur T (par exemple le point d'ordonnée nulle), puis démontrer que le triangle ABM(0) est rectangle en M(0).

Bon courage,
SoSMath.

Je suis désolée mais je n'y arrive pas ...

Je ne vois vraiment pas comment faire ..... !

Merci

Aurélie

Bonsoir Aurélie,

Tu as dit que tu avais trouver l'équation de la tangente à P en M(0), donc dans cette équation tu remplaces y par 0 pour en déduire x (en fonction de alpha). Tu obtiens donc un point
B(x;0) qui appartient à ta tangente (car ses coordonnées vérifient l'équation de la tangente).
Tu connais aussi les coordonnées de A et M(0), donc tu peux calculer les longueurs AB, AM(0) et BM(0). Ce qui va te permettre de vérifier que ton triangle ABM(0) est rectangle.

remarque : tu vas devoir utiliser le fait que \(2a^3+a-2=0\) (où a est ton alpha).

Bon courage,
SoSMath.

Désolée mais je ne vois pas ...


Ma tangente est compliquée je ne sais pas si c'est la bonne équation :

y=2ax^3 - a^4 + ax -2a -2x + 4

Où a est alpha ..

est ce correct ?


merci

aurélie

Aurélie, l'équation que tu donnes ne peux être celle d'une droite ! en effet tu as des "x^3" ce qui est impossible pour une équation de droite !

Rappel : l'équation de la tangente à la courbe de la fonction f au point d'abscisse \(x_0\) est : \(y=f^,(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\) où \(f^,\) est la dérivée de f.

Ici \(x_0=a\) (a = alpha) et \(f(x)=x^2\)
Il te reste à calculer \(f^,(x)\) pour en déduire \(f^,(a)\), puis déterminer \(f(a)\), et pour terminer tu auras l'équation de ta tangente à ta courbe au point M(0).

Repose toi et reprend cette exercice demain.
SoSMath.

Bonjour,

merci de votre aide, seulement je ne comprends pas et je n'arrive pas à démarrer ni à trouver la solution...


Pouvez vous encore m'aider svp ?


Merci d'avance


Aurélie

Bonjour Aurélie,
Il faut d'abord trouver l'équation de la tangente au point M de la parabole, d'abscisse \(\alpha\).
Ce point M a pour coordonnées \(\left(\alpha;\alpha^{2}\right)\).
L'équation de la tangente est de la forme \(y=f^{\prime}(\alpha)x+b\).
On exprimera b en fonction de \(\alpha\) en se servant du point M.
Une fois que vous avez l'équation de la tangente, vous chercherez le point B de cette droite d'ordonnée 0.
Vous démontrer que le triangle AMB est rectangle en M en utilisant la récirpoque du théorème de Pythagore.
Bon courage.