Construire une rampe (DM)

[Noriane]

Bonjour à tous, voici un Dm de maths (forcément).

Sujet

Une usine de produits chimiques souhaite faire une rampe inclinée en pente douce permettant à des chariots de franchir un dénivelé de 1 mètre entre un quai et le sol.
Pour des raisons évidentes de sécurité, cette rampe devra être tangente au sol au point A et tangente au niveau du plancher du quai en B.
O est le projeté orthogonal de B sur le sol.
Pour faciliter l'étude, on exprimera les coordonnées des points et les équations des courbes dans le repère orthonormé direct (O, C, B).
Dans un premier projet, on prévoit une emprise au sol de 2 mètres, c'est-à-dire OA=2.

La question qui me pose problème dans ce sujet étant la suivante :
Montrer qu'on peut trouver une solution formée de deux arcs de parabole de sommets respectifs A et B, se raccordant en étant tangents en un point I d'abscisse 1. Donner les équations des deux paraboles trouvées. Vérifier que la pente maximum de cette rampe est obtenue au point I. Quelle est cette pente?


Ce que j'ai pour le moment

a(x) la parabole de sommet A(2,0) de forme ax^2+bx+c et de dérivée a'(x) = 2ax+b
b(x) la parabole de sommet B(0,1) de forme px^2+mx+n et de dérivée b'(x) = 2px+m

Comme les tangentes en A et B doivent être nulles,
a'(2)=0 donc 2a*2+b=0 et 4a=-b
b'(0)=0 donc 2p*0+m=0 et m=0

Ensuite
a(x) passe par A(2,0) donc a*2^2+b*2+c=0 et 4a+2b+c=0
b(x) passe par B(0,1) donc p*0^2+n=1 et n=1

Comme A et B sont les sommets:
(xA)=(-b)/(2a) donc 2=(-b)/2a et (-b)/2a-2=0
(xB)=(-m)/2p donc 0=0/2p (inutile)

Comme les courbes sont tangentes en I d'abscisse 1,
a'(1)=b'(1)
donc 2a*1+b=2p*1+m
Donc 2a+b=2p

Mais nous avons encore quatre inconnues : a b c et p sans possibilité de résoudre le système...

Merci de votre aide par avance!

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Noriane,

Tu as aussi \(a+b+c= p+m+n\), les tangentes ont la même pente mais tu as aussi le point de raccordement qui a pour abscisse 1 et la même ordonnée.

J'espère que cette équation supplémentaire t'aidera.

Bon courage pour la suite

[Noriane]

Oui, merci beaucoup, c'est bon, j'ai réussi à résoudre le système avec cette équation en plus. Merci encore.