produit scalaire

[Emy]

Bonjour,
J'aimerai vous montrer mes résultats sur mon devoir-maison à rendre, pour savoir si j'ai fais des erreurs... Si vous avez des conseils n'hésitez surtout pas !
Merci d'avance pour celui/celle qui prendra le temps de tout lire et me corriger

Exercice 1:

ABCD est un losange tel que AC=4 et BD=5
On note O le contre de ce losange
Calculer les produits scalaires suivants:
1) Les vecteurs AC.BD et les vecteurs BC.BD
Toutes les longueurs sont des vecteurs:
AC.BD : Les diagonales d'un losange se coupent en leur milieux et sont perpendiculaires donc AC.BD sont orthogonaux = 0
BC.BD = (BO+OC).BD
= BO.BD + OC.BD
= BO.BD + 0
= 5*2,5 = 12,5
2) Les vecteurs AB.AC et AB.AD puis BA.BC
AB.AC = (AO + OB).AC
= AO.AC + OB.AC
= AO.AC + 0
= 2*4 = 8
AB.AD = (AO + OB).(AO + OD)
= AO.AO + AO.OD + OB.AO + OB.OD
= AO² + 0 + 0 -2,5*2,5
= 2² - 6,25 = 2,25
BA.BC = (BO + OA).(BO + OD)
= BO.BO + BO.OC + OA.BO + OA.OC
= 6,25 + 0 + 0 - 4
= 2,25

Exercice 2:

Soit C le cercle circonscrit à un triangle ABC. On note O le centre du cercle, I le milieu de [BC] et E le point diamétralement opposé à A sur le cercle.
Je ne suis pas du tout sûr pour cet exercice
1) Démontrer que Les vecteurs AB.AE= AB² et AC.AE= AC²
AB.AE = AB(AB.BE)
= AB² + AB.BE
= AB² + 0
AC.AE = AC(AC+CE)
= AC.AC + AC.CE
= AC² + 0
2) En déduire que AB² + AC² = 2AI.AE
AB² + AC² = AB.AE + AC.AE
= (AI + IB).AE + (AI + IC). AE
= AI.AE + IB.AE + AI.AE + IC.AE
= AI.AE + 0 + AI.AE + 0
= 2(AI.AE)
Comment à partir de ce résultat je peux arriver à 2AI.AE ? ou je me suis trompé avant ?

Exercice 3:

ABCD est un parallélogramme tel que: AB= 2, AC= 4, AD= 3
1) Calculer les vecteurs AB.AD
AB.AD = 1/2 (//AB+AD//² - //AB//² - //AD//²) vecteurs
= 1/2 (//AC//² - //AB//² - //AD//²) vecteurs
= 1/2 ( AC² - AB² - AD²) longueurs
= 1/2 (4² - 2² - 3²)
= 1/2 * 3
= 3/2
2) En déduire une valeur approchée, à 0.01 près, de la mesure en radians de l'angle BÂD
Les vecteurs AB.AD = les longueurs AB * AD * cos(BÂD)
3/2 = 2 * 3 * cos(BÂD)
cos(BÂD) = (3/2)/2 * 3
cos(BÂD) = 3/12 = 1/4 = environ 1,32 arrondi à 0.01 près en radian

Exercice 4 :

On donne deux points A et B tels que AB = 6. Dans chacun des cas suivants, déterminer comment choisir le réel k de telle sorte que:
1) L'ensemble des points M tels que les vecteurs AM.AB = k soit la médiatrice du segment [AB]
J'ai fais une figure et puisque M n'est pas définie je n'arrive pas à le représenter sous forme de vecteurs en essayant avec Chasles
2) L'ensemble des points M tels que AM.AB = k soit la droite perpendiculaire à (AB) passant par le symétrique de B par rapport à A
Même chose que pour la question précédente
Si quelqu'un peut m'éclairer sur cet exercice je lui en serai redevable.

Un grand merci d'avance pour votre réponse

[sos-math(27)]

Bonjour Emy,
Exercice 1 :
1) ok
2)

AB.AD = (AO + OB).(AO + OD)
= AO.AO + AO.OD + OB.AO + OB.OD
= AO² + 0 + 0 -2,5*2,5
= 2² - 6,25 = 2,25

erreur de signe

Exercice 2 :
1) petite erreur dans l'écriture du calcul :
AB.AE = AB.(AB+BE)
= AB² + AB.BE
= AB² + 0 il faut expliquer pour quoi on a AB.BE=0 : le triangle ABE est inscrit dans un cercle et AE est diamètre, donc il est rectangle en B.

AB² + AC² = AB.AE + AC.AE
= (AI + IB).AE + (AI + IC). AE
= AI.AE + IB.AE + AI.AE + IC.AE
= AI.AE + 0 + AI.AE + 0
= 2(AI.AE)

Ton raisonnement est faux car IBet AE, ainsi que IC et AE ne sont pas orthogonaux.

Tu étais bien partie, mais essaie plutôt de factoriser : AB² + AC² = AB.AE + AC.AE=(AB+AC).AE et comme I est le milieu de [BC] alors AB+AC = 2AI ...
Ex 3 :
ok pour le début

cos(BÂD) = 3/12 = 1/4 = environ 1,32 arrondi à 0.01 près en radian

Attention à ne pas confondre l'angle et son cosinus, il faut aller à la ligne

Ex 4 :
1) Essaie d'introduire le milieu I de [AB] avec la relation de Chasles :
alors on aura : IM orthogonal à AB, dans ce cas, cela te donnera des indications sur la manière de choisir k ! (il n'y a qu'une valeur possible)
2) Même style de raisonnement en introduosant B'...je te laisse chercher.

Bravo en tout cas pour ton travail ! Je reste à l'écoute aujourd'hui et un peu demain.