SOS-MATH

Bonjour.

Je dois écrire un algorithme qui demande d'entrer une valeur n entier naturel supérieur ou égal à 1 et qui affiche en sortie la valeur :
p = 1 (sigma) n ; q = 1 (sigma) n valeur absolue de (p - q)

Comment peut-on faire ?

Ensuite, démontrer que : p = 1 (sigma) n ; q = 1 (sigma) n valeur absolue de (p - q) = n(n^2 - 1) / 3

Merci d'avance pour votre réponse. Je n'ai aucune idée de comment procéder.

Bonjour Sophie,

Pour l'algorithme, il faut faire une boucle itérative (Pour ...) dans une boucle itérative ...
Pour p=1 à n
\(\vspace{3}\)Pour q=1 à n
\(\vspace{10}\).....
\(\vspace{3}\)Fin pour
Fin pour

La démonstration me semble bien compliquée pour une élève de première ... voici le début :
\(\sum_{p=1}^{n}\sum_{q=1}^{n}|p-q|=\sum_{p=1}^{n}(\sum_{q=1}^{p}(p-q)+\sum_{q=p+1}^{n}(q-p))=...\)

SoSMath.

En effet, j'ai un peu de mal pour la démonstration. En fait, je ne comprends pas bien comment utiliser le symbole "sigma" (comment lire l'expression).

Bonjour Sophie,
Ce symbole permet d'écrire une somme longue (avec beaucoup de termes) de manière exacte et rigoureuse (c'est pour ne pas mettre ... )
Pour l'utiliser, il faut successivement substituer p et q dans la formule du sigma, par les entiers compris entre 1 et n . Effectivement, ce n'est pas simple quand on a DEUX sigmas imbriqués comme c'est la cas ici.

Pour donner un exemple plus simple : si on additionne les n premiers entiers, :
\(1+2+3+....+n=\sum_{i=1}^{n}{i}=\frac{n \times (n+1)}{2}\)

C'est d'ailleurs cette formule qu'il faudra utiliser pour la démonstration. Comme l'a dit mon collègue, elle est difficile pour une élève de première. As tu réussi l'algorithme ? Si oui, tu peux aussi faire une vérification de la formule donnée (pas une démonstration), en calculant les somme et la formule pour plusieurs valeurs de n.

A bientôt

Bon, je laisse la démonstration de côté.

Voici ce que j'ai fait pour l'algorithme :

Variables :
p, q : réels
n : entier naturel supérieur ou égal à 1

Traitement :
Pour p allant de 1 à n Faire
Pour q allant de 1 à n Faire
q prend la valeur n(n + 1) / 2
Fin Pour
p prend la valeur n(n + 1) /2
FinPour

Sortie :
Afficher (valeur absolue) de (p - q)

Bonjour,
une idée de démonstration :
si tu fais un tableau de dimension \(n\times n\) et que tu marques à chaque emplacement p ième ligne et q-ième colonne \(a_{pq}=|p-q|\) , tu te retrouves avec un tableau de cette forme ici n=6\(\begin{pmatrix}0&1&2&3&4&5\\1&0&1&2&3&4\\2&1&0&1&2&3\\3&2&1&0&1&2\\4&3&2&1&0&1\\5&4&3&2&1&0\end{pmatrix}\).
Tu te rends compte qu'il y a une symétrie et que la somme de tout le tableau est égale à 2 fois celle du triangle inférieur.
Dans ce triangle, tu as \(n\) diagonales de nombres égaux :
1ère diagonale : \(n\) nombres tous égaux à 0 : somme égale à 0
2ème diagonale : \(n-1\) nombres tous égaux à 1 : \((n-1)\times 1\)
3 ème diagonale : \(n-2\) nombres tous égaux à 2 : \((n-2)\times 2\)
et ainsi de suite de sorte que ta somme S est égale à \(S=2\sum_{k=0}^{n}(n-k)\times k=2\sum_{k=0}^{n}nk-2\sum_{k=0}^{n}k^2\)
donc \(S=2n\times \sum_{k=0}^{n}k-2\sum_{k=0}^{n}k^2\)
Sachant que \(\sum_{k=0}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}\) et \(\sum_{k=0}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
Je te laisse finir le calcul.
Pour ton algorithme, c'est faux, il faut que tu fasses une double somme avec une boucle "Pour" imbriquée dans une autre boucle "Pour". Bon courage