Exercice

[Justine]

Bonjour, j'ai seulement l'exercice 1 à faire.
1) Une racine est forcément positive alors (x-3)\(\sqrt{x}\)>0. Donc f est bien définie sur [0 ; +inf].
2) Je ne sais pas comment faire. Faut-il utiliser le taux d'accroissement ?

Cordialement

[sos-math(21)]

Bonjour,
ce n'est pas comme cela qu'il faut justifier : une racine n'est calculable que si le nombre sous cette racine carrée est positif donc c'est cela qui justifie que la fonction est définie sur \([0\,;\,+\infty[\) : ce n'est pas la fait qu'une racine carrée est positive mais plutôt qu'une racine carrée ne se calcule que pour des nombres positifs.
Bon courage

[Justine]

Merci pour votre aide. Donc si je reprends :
1) Justifier le domaine de définition de f.
Une racine carrée ne se calcule que pour des nombres positifs, alors (x-3)rac(x)>0. Donc f est bien définie sur [0 ; +inf].

2) Justifier que f est dérivable sur ]0;+inf[ et que tout x appartient à ]0;+inf[, f'(x)= 3(x-1)/(2rac(x)).
Je ne sais pas comment m'y prendre.

3) Étudier le signe de f'(x) selon les valeurs de x.
Le dénominateur (2 rac(x)) est positif.
3(x-1) > 0 équivaut à x-1 > 0 c'est à dire x > 1
Donc lorsque x>1 f'(x) est positif et lorsque x<1 f'(x) est négatif.
Faut-il faire un tableau de signe ?

4) Étudier la dérivabilité de f en 0.
Je pense qu'il faut utiliser le taux d'accroissement, mais je ne sais pas faire.

Cordialement.

[Justine]

Je me permets de vous renvoyer un message afin de vous faire part de mes réponses aux questions 2 et 3.
Est-correct ?

Cordialement.

[sos-math(27)]

Bonjour Justine,,

1)

Une racine carrée ne se calcule que pour des nombres positifs, alors (x-3)rac(x)>0. Donc f est bien définie sur [0 ; +inf].

Comme on te l'a déjà dit, il faut remplacer ce qui est souligné par : x doit être positif pour calculer la racine carré.

2) : f est donné sous forme d'un produit, il faut donc appliquer la dérivée d'un produit (identifie u, puis v, et calculer u' v + u v'

3) oui, ton raisonnement est bon, le tableau de signe va clarifier la présentation du résultat final.

4) oui, le taux d'accroissement est une bonne idée : on est dans le cas où la fonction est définie, mais non dérivable en un point. Quand x se rapproche de 0, la fonction dérivée se rapproche de l'infini, ce qui fait qu'elle n'est pas dérivable (il existe bien une tangente, mais qui est verticale, et donc qui n'a pas de coefficient directeur défini)

A bientôt

[sos-math(27)]

Pour vos réponse aux questions 2) et 3), c'est bien rédigé.

A bientôt

[Justine]

Merci pour votre aide.

Donc pour la question 4 et la question 5 c'est bon.

Pour les questions 6 et 7, comment dois-je m'y prendre puisqu'il n'y a pas de coefficient directeur défini ?
Comment trace-t-on la tangente ?

(il existe bien une tangente, mais qui est verticale, et donc qui n'a pas de coefficient directeur défini)

Cordialement.

[sos-math(27)]

Le problème de dérivabilité de pose en 0 uniquement, en a=4, il faut utiliser les formules de votre cours pour calculer l'équation de la tangente.
Pour la question 7), aidez vous de votre calculatrice ou de Geogebra.
A plus tard

[Justine]

Dans mon cours , je trouve comme exemple :

A(a;f(a)) apparient à Ta si et seulement si:
yA= f'(a) xA + p
f(a)=f'(a) * a+p
p=f(a) - a f'(a)
L'équation réduite est:
y= f'(a)(x-a) + f(a)

Je ne vois pas comment approprier cette propriété à la question de l'exercice.

Cordialement.

[sos-math(27)]

Si, justement, comme vous cherchez l'équation de la tangente au point d'abcisse 4, alors a=4.
L'éuqation de la tangente est donc :
y=f '(4) (x-4)+f(4)

A calculer puis réduire...
A bientôt

[Justine]

Donc :
A(a;f(a)) apparient à Ta si et seulement si:
yA= f'(a) xA + p
f(4)=f'(4) * 4+p
p=f(4) - 4* f'(4)
soit, y=f '(4) (x-4)+f(4)

Est-ce cela ?

Cordialement.

[sos-math(27)]

Pas vraiment, une fois la formule établie, il faut calculer l'équation de la tangente en utilisant f(4) et f'(4) :
\(f(4) = (4-3) \sqrt 4 = 2\)
et \(f'(4)= \frac{3(4-1)}{2\sqrt 4} =...\)

Ensuite calculer l'équation de la tangente (une droite)
A bientôt

[Justine]

A(a;f(a)) apparient à Ta si et seulement si:
yA= f'(a) xA + p
y=f '(4) (x-4)+f(4)

\(f(4) = (4-3) \sqrt 4 = 2\)

et \(f'(4)= \frac{3(4-1)}{2\sqrt 4}\)

\(f'(4)= \frac{12-3}{2\sqrt 4}\)

\(f'(4)= \frac{9}{2\sqrt 4}\) = \(\frac{9}{4}\)


et après, faut-il faire f'(4)-f(4) ?
\(f'(4)-f(4)= \frac{9}{4}-2\)= \(\frac{9}{4}\) - \(\frac{8}{4}\) = \(\frac{1}{4}\)

Cordialement.

[sos-math(27)]

Non, il faut remplacer f '(4) par 9/4 et f(4) par 2 dans l'équation : y=f '(4) (x-4)+f(4)

y= 9/4 (x-4) + 2 reste à développer et réduire pour arriver à l'équation de la tangente.

Ce raisonnement est à savoir faire, c'est une question de base qui revient souvent (en devoir surveillé par exemple)...

A bientôt

[Justine]

A(a;f(a)) apparient à Ta si et seulement si:
yA= f'(a) xA + p
y=f '(4) (x-4)+f(4)
y= 9/4 *(x-4)+2
y= 9/4x -9+2
y= 9/4x -7

L'équation de la tangente T a pour équation : y= 9/4x -7