Parallélépipède rectangle

[Sébastien]

Bonjour, je ne comprends pas très bien cet exercice, pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?

Une boîte de soupe a la forme d'un parallélépipède rectangle à base carrée. On appelle x le côté de la base carrée et h la hauteur de la boîte.

1. Exprimer le volume V de cette boîte en fonction de x et de h.
J'ai trouvé \(x^{2} \times h\).

2. Exprimer la surface latérale S de cette boîte en fonction de x et de h.
J'ai trouvé \(2x^{2} + 4hx\).

En réalité cette boîte a un volume imposé de 1500 \(cm^{3}\).

3. Déduire de la question 1 une expression de h en fonction de x.
J'ai trouvé \(h = \frac{1500}{x^{2}}\).
Montrer alors que la surface latérale peut s'exprimer à l'aide de x par \(S(x) = 2x^{2} + \frac{6000}{x}\).
Ce que j'ai fait.

4. Calculer S' et montrer que \(S'(x) = \frac{4x^{3} - 6000}{x^{2}}\).
Mais je ne vois pas comment calculer S'.

Merci d'avance.

[SoS-Math(25)]

Bonjour Sébastien,

S' est la dérivée de S. As-tu appris les dérivées ?

A bientôt !

[Sébastien]

D'accord, merci !
Oui, j'ai appris les dérivées, donc en fait pour trouver S', il faut que je dérive \(2x^{2} + 4hx\) ?
Je sais dériver quand il y a seulement x mais avec x et en plus h, je ne vois pas.
Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Merci d'avance

[sos-math(21)]

Bonjour,
il faut que tu partes de la dernière expression de S : \(S(x)=2x^2+\frac{6000}{x}\)
Il suffit de dériver cette expression sachant que \((x^2)'=2x\) et \(\left(\frac{1}{x}\right)'=\frac{-1}{x^2}\), après, il te restera à mettre au même dénominateur, tu retrouveras l'expression proposée et il faudra étudier son signe.
Bon courage

[Sébastien]

D'accord, merci beaucoup !
J'ai trouvé que \(S' = 4x - \frac{6000}{x^{2}}\) et j'en ai déduit que \(S'(x) = \frac{4x^{3 - 6000}}{x^{2}}\).
Mais je ne comprends pas très bien la suite de mon exercice...

On pose \(g(x) = 4x^{3} - 6000\).

5. Calculer g'(x).
J'ai trouvé que \(g'(x) = 12x^{2}\).
En déduire le tableau des variations de g.
Ce que j'ai fait.

6. Montrer que l'équation g(x) = 0 admet une unique solution \(\alpha\) dans l'intervalle [11 ; 12].
Je pense qu'il faut résoudre \(4x^{3} - 6000 = 0\), mais je n'ai appris comment résoudre une équation du troisième degré.

Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Merci d'avance

[sos-math(21)]

Bonjour,
On ne te demande pas de la résoudre mais de montrer qu'elle a une unique solution.
Ta fonction g est continue strictement croissante et tu as : \(g(11)<0\) et \(g(12)>0\) (à vérifier).
Donc la courbe coupe une seule fois l'axe des abscisses, ce qui montre l'existence et l'unicité de \(\alpha\), solution de \(g(x)=0\).
Tu peux ensuite en déduire une valeur approchée à l'aide de la calculatrice.
Bonne continuation

[Sébastien]

D'accord, merci beaucoup, j'ai compris !

Mais je ne comprends pas très bien la suite de l'exercice.

7. Déduire de ce qui précède le tableau des variations de S sur ]0 ; + \(\infty\)[ et en déduire la valeur x pour laquelle S atteint un minimum.
Ce que j'ai fait.

Le matériau utilisé pour fabriquer la boîte coûte 12 € le \(m^{2}\).

8. Déterminer les dimensions de la boîte pour que le coût de fabrication soit minimal et donner la valeur de ce coût minimal.
Mais je ne comprends pas cette question.

Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Merci d'avance

[sos-math(27)]

Bonjour Sébastien,
Il suffit de calculer la valeur minimale de S (tu l'as trouvée dans ton tableau)
Ensuite, si le matériaux utilisé coûte 12 €/m², il suffit de multiplier cette valeur minimale par 12 !!
A bientôt

[Sébastien]

Merci, donc la valeur du coût minimal de la boîte représente la valeur minimale de S multipliée par 12 ?
Mais comment je détermine les dimensions de la boîte ?
Merci d'avance

[sos-math(27)]

Les dimensions sont le x trouvé pour le minimum (c'est le côté du carré de base) et le h que tu peux alors calculer...
A bientôt

[franchesco]

merci bg jai reussi, mes exos de math grace a toi