Bonjour, je suis complètement bloqué pour résoudre ces exercices avec le produit scalaire, si quelqu'un pourrait me donner une piste je lui en serai vraiment redevable.
Exercice 1:
ABC est un triangle quelconque. On construit les triangles CAF et BAF rectangles isocèles en A comme indiqué sur la figure. On veut prouver que la médiane (AI) du triangle ABC est une hauteur du triangle AEF. (je ne sais pas si sans la figure c'est très clair)
1) Montrer que les vecteurs AB.AF= aux vecteurs AC.AE
(j'ai commencé par la relation de Chasles mais qui j'ai l'impression ne donne rien)
2) Exprimer le vecteur AI en fonction des vecteurs AB.AC
3) Prouver que AI.EF=0 puis conclure
Exercice 2:
Sur les côtés [AB] et [AD] d'un carré ABCD, on place les points N et M tels que AN=AM
Montrer que la médiane issue de A dans le triangle ABM est la hauteur issue de A dans le triangle ADN
Exercice :
1)Etant donné trois points A, B et C, montrer que, pour tout point M du plan:
Les vecteurs AM.BC+BM.CA+CM.AB=0
2) Retrouver, à l'aide de cette relation, que les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes.
Je ne sais pas si sans les figures c'est très compréhensible mais je vous remercie d'avance pour avoir pris sur votre temps
Blocage produit scalaire
-
Sophia
-
sos-math(21)
- Messages : 10401
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Blocage produit scalaire
Bonjour,
dans l'exercice 1, j'ai du mal à voir sans la figure, d'autant que je ne sais pas comment est défini le point E. Précise cela
Pour le 2, note I le milieu de [MB] de sorte que [AI] soit la médiane dont on parle.
Je te propose de justifier pourquoi on a \(\vec{AM}+\vec{AB}=2\vec{AI}\), tu en déduiras \(\vec{AI}=\frac{1}{2}\vec{AM}+\frac{1}{2}\vec{AD}\).
Ensuite, il te reste à calculer le produit scalaire \(\vec{AI}.\vec{ND}=\left(\frac{1}{2}\vec{AM}+\frac{1}{2}\vec{AD}\right).\left(\vec{NA}+\vec{AD}\right)\) (avec Chasles)
Je te laisse développer cela, il y a des choses qui s'arrangent et tu dois obtenir 0 à la fin, ce qui prouvera que (AI) est la hauteur relative (ND) dans AND.
Pour le dernier exercice, intercale le point A dans les deux derniers produits scalaires :
\(P=\vec{AM}.\vec{BC}+\vec{BM}.\vec{CA}+\vec{CM}.\vec{AB}=\vec{AM}.\vec{BC}+(\vec{BA}+\vec{AM}).\vec{CA}+(\vec{CA}+\vec{AM}).\vec{AB}\)
Je te laisse développer, tout se simplifie, il ne reste plus rien à la fin.
Bons calculs
dans l'exercice 1, j'ai du mal à voir sans la figure, d'autant que je ne sais pas comment est défini le point E. Précise cela
Pour le 2, note I le milieu de [MB] de sorte que [AI] soit la médiane dont on parle.
Je te propose de justifier pourquoi on a \(\vec{AM}+\vec{AB}=2\vec{AI}\), tu en déduiras \(\vec{AI}=\frac{1}{2}\vec{AM}+\frac{1}{2}\vec{AD}\).
Ensuite, il te reste à calculer le produit scalaire \(\vec{AI}.\vec{ND}=\left(\frac{1}{2}\vec{AM}+\frac{1}{2}\vec{AD}\right).\left(\vec{NA}+\vec{AD}\right)\) (avec Chasles)
Je te laisse développer cela, il y a des choses qui s'arrangent et tu dois obtenir 0 à la fin, ce qui prouvera que (AI) est la hauteur relative (ND) dans AND.
Pour le dernier exercice, intercale le point A dans les deux derniers produits scalaires :
\(P=\vec{AM}.\vec{BC}+\vec{BM}.\vec{CA}+\vec{CM}.\vec{AB}=\vec{AM}.\vec{BC}+(\vec{BA}+\vec{AM}).\vec{CA}+(\vec{CA}+\vec{AM}).\vec{AB}\)
Je te laisse développer, tout se simplifie, il ne reste plus rien à la fin.
Bons calculs