exercice difficile

[Camille]

Bonsoir,

Je suis en 1ère S et je n'arrive pas à faire un exercice. Je ne sais pas comment démarrer.

L'exercice est :

On considère un morceau de papier en forme de triangle rectangle ABC tel que A(0;0), B(4;0) et C(0;3).
Depuis le point M pris sur [AB], on réalise un pli vertical et on rabat de façon à avoir une figure.
"Au départ", la figure est un pentagone, puis un quadrilatère.
On appelle f la fonction donnant l'aire de la partie en pointillé.
1) Déterminer l'expression de f en fonction de a=AM. Distinguer deux cas.
2) La fonction s'exprimant de deux façons différentes pour a<2 et pour a>2. Les deux valeurs donnent elles la même valeur pour a=2 ?
3) La fonction est elle dérivable en a=2 ?
4) A quelle distance "a" du point A doit on plier pour que l'aire de la figure pliée soit minimum ?

La figure :

[sos-math(20)]

Bonsoir Camille,

Pour commencer et avoir une meilleure idée de ce qui se passe, je vous invite à faire ce pliage dans la réalité en prenant une feuille de papier en forme de triangle.

Ensuite regardez de quelles formes géométriques simples est composée la surface que l'on cherche à évaluer; faites plusieurs pliages différents en faisant varier l'endroit où vous faites le pliage : cela vous aidera à comprendre pourquoi on vous demande de "distinguer deux cas".

Bon courage.

SOS-math

[Camille]

Oui, j'ai déjà remarqué que lorsque a<2, la figure en pointillé est un pentagone, et que lorsque a≥2 la figure en pointillé forme un quadrilatère. Je sais aussi que pour calculer l'aire d'un triangle, la formule est base*hauteur/2, et pour calculer l'aire d'un trapèze, la formule est (petite base*grande base)*h/2.

Mais je ne sais pas comment déterminer l'expression de f en fonction de a=AM.

[sos-math(20)]

Vous avez déjà bien avancé !

Imaginons le 1er cas : a<2. La figure est bien un pentagone dont l'aire est constituée d'un trapèze et d'un triangle.
On sait que AM=a : que vaut alors MF ?
On sait que AB=4 et AM=a : que vaut MB ?
Du coup que vaut FB ?

Pour les longueurs des segments verticaux, vous pourriez penser à utiliser un théorème du collège bien connu, non ?

Ces informations vous aideront peut-être à déterminer l'aire en pointillés dans le 1er cas.

Bon courage

SOS-math

[Camille]

Alors je sais que AM=a, MF=a car F est le symétrique de A par rapport à M, MB=4-a, et FB=4-2a.
Pour les segments verticaux il faut utiliser Thalès, ce qui donne :
BD/BC=BM/BA=DM/CA, où CA=3, BM=4-a, BA=4, et comme le triangle est rectangle, je peux déduire que BC vaut 5 ? (triangle rectangle 3.4.5)

[sos-math(20)]

C'est cela ! Vous pouvez dons maintenant déduire la valeur de MD; ce qui vous permettra de calculer la surface du trapèze.
En utilisant le même type de raisonnement, vous devriez pouvoir calculer aussi la surface du triangle.

Bon courage

SOS-math