Exercice trigonométrie

[Clara]

Bonjour,

Les quatre questions sont indépendantes :

1) Résoudre dans R puis dans ]-pi;pi] l'équation d'inconnue x: cos(x)= -1/2

2) Résoudre dans R puis dans [0;2pi] l'équation d'inconnue x: sin( 3x + pi/4)=0. Vous placerez les points images des solutions sur le cercle trigonométrique à l'aide de la règle et du compas.
Je ne sais pas comment placer 47pi/12 sur le cercle ni les points images des solutions.

3) a) Je sais que sin(2x+1) = sin(x) grâce à la formule de mon cours, mais je ne sais pas comment le démontrer.

4)a) Je pensais utiliser la formule cos^2(x) +sin^2(x)=1.

[sos-math(21)]

Bonjour,
pour la 1, cela me semble correct,
Pour la 2), tu as \(\sin(x)=0\) qui est équivalent à \(x=0\,[2\pi]\) ou \(x=\pi \,[2\pi]\) : reprends ta résolution.
Pour la 3, tu as à résoudre une équation de la forme \(\sin(x)=\sin(y)\), à quel moment deux sinus sont égaux ?
Lorsque \(x=y\) ou lorsque \(y=\pi-x\), le tout à \(2\pi\) près. A toi de poursuivre.
Pour la 4, la formule que tu cites est une bonne idée.
Bon courage

[Clara]

Pour la 2) J'ai repris mes calculs. J'ai placé 9pi/4 sur le cercle trigonométrique.
Mais je trouve qu'une solution a mon système...
Est-ce que je dois faire au début du système:
3x + pi/4 = 3pi/4 +2 k pi
ou
3x + pi/4 = 5pi/4 +2 k' pi

Pour la 3) Deux sinus son égaux lorsque leur cosinus sont opposés.
sin(2x+1) <=> 2x+1= pi/4+2 k pi
ou
2x+1= 3pi/4+2 k' pi

Pour la 4) Faut-il que je remplace x par une valeur ?

Cordialement

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Clara,

question 2 :
Tu as fait une erreur .... tu as écris :
3x + pi/4 = pi+2 k pi ... c'est faux. Tu as 3x + pi/4 = 0+2 k pi
ou
3x + pi/4 = pi +2 k' pi

Question 3 :

Pour la 3, tu as à résoudre une équation de la forme \(\sin(x)=\sin(y)\), à quel moment deux sinus sont égaux ?
Lorsque \(x=y\) ou lorsque \(y=\pi-x\), le tout à \(2\pi\)près.

Utilise son indication ... sin(2x+1) = sin(x) <=> 2x+1 = x + k2pi ou ...

Question 4 :
As-tu fait le 4a ?
As-tu résolu le 4b ?

SoSMath.

[Clara]

Bonsoir,

Question 2: J'ai corrigé mon erreur mais je ne sais toujours pas ou placer les points images sur le cercle trigonométrique.
Question 3: sin(2x+1) = sin(x) <=> 2x+1 = x + 2 k pi ou 2x+1 = pi - x+ 2 k pi
Question 4: Non, je suis bloquée au a) avec la formule cos^2(x) +sin^2(x)=1. Mais je ne vois pas comment faire.

Cordialement

[SoS-Math(9)]

Bonjour clara,

Question 2 :
Quand tu as diviser par tu as oublié de diviser le k2pi ...
3x = -pi/4 + k 2pi <=> 3 = -pi/12 + k 2pi/3

Ensuite pour placer tes points sur le cercle, tu commences par placer -pi/12 (ici k = 0), le prochain point sera -pi/12 + 2pi/3 (k=1), ...

Question 3 :
x est ton inconnue ... donc il faut regrouper les x dans le même membre de l'égalité ...
2x + 1 = x + k 2pi <=> x = -1 + k 2pi.

Question 4 :
-2 sin²(x) + cos(x) + 1 = 0
Tu as la relation sin²(x) + cos²(x) = 1 soit sin²(x) = 1 - cos²(x)

d'où : -2 (1 - cos²(x)) + cos(x) + 1 = 0 ....

Bon courage,
SoSMath.

[Clara]

Bonjour,

Question 2 : J'ai repris les calculs et j'ai placé les points sur le cercle.
Question 3: Le résultat me semble incorrect...
Question 4:
a)
-2sin\(^2\)(x) + cos(x) +1=0
On a sin\(^2\)(x) +cos\(^2\)(x)=1
soit sin\(^2\)(x)=1- cos\(^2\)(x)

d'où: -2(1-cos\(^2\)(x))+ cos(x)+1=0
-2+2cos\(^2\)(x) + cos(x) +1=0
2cos\(^2\)(x)+cos(x)-2+1=0
2cos\(^2\)(x)+cos(x)-1=0

b)
Résoudre 2X\(^2\)+X-1=0 <=> 2X\(^2\)+X=1
<=>X\(^2\)+X= \(\frac{1}{2}\)
Comment on simplifie les X ?

Cordialement

[sos-math(28)]

Bonsoir Clara
Tu dois résoudre une équation du second degré. Pourquoi crois-tu pouvoir simplifier par X ?
Revois ton cours sur le second degré.
Bon courage.

[Clara]

Bonsoir,

Question 4:
b)
2X\(^2\) +X-1=0
delta= b\(^2\)-4ac
delta= 1\(^2\)-4*2*(-1)
delta= 9
delta > 0

X1 = (-1- \(\sqrt{9}\)) / 2*2 = -1
X2= (-1+ \(\sqrt{9}\)) / 2*2 = 1/2

x\(^2\)= -1 ou x\(^2\)= 1/2
x= +ou - \(\sqrt{1/2}\)

S= { - \(\sqrt{1/2}\); + \(\sqrt{1/2}\)}

Cordialement

[sos-math(20)]

Ta résolution de l'équation du second degré est correcte.
Mais pourquoi ensuite considérer des racines carrées ? J'avoue que je ne vois pas trop bien le lien avec l'équation en cosinus, et je t'invite à reprendre cela.

SOS-math

[Clara]

Bonsoir,

Question 4:
b)
2X^2 +X-1=0
delta= b^2-4ac
delta= 1^2-4*2*(-1)
delta= 9
delta > 0

X1 = (-1- \sqrt{9}) / 2*2 = -1
X2= (-1+ \sqrt{9}) / 2*2 = 1/2

x^2= -1 ou x^2= 1/2

S={-1; 1/2}

c)
x= cos(x)
2x^2+x-1=0 <=> 2cos^2(x) + cos(x) -1=0
soit, x= -1 ou x= 1/2
Dans ]-pi; pi], S= {-pi/3; pi/3; pi}

Cordialement.

[sos-math(27)]

Bonsoir Clara,
Pour le 4) b), ok
Pour le 4) c), tu as confondus : il faut rechercher x tel que : \(\cos x = -1\) ou \(\cos x =0.5\).
Cela ne pose pas de problème à l'aide d'un cercle trigonométrique.
A bientôt

[Clara]

Donc,
Question 4:
c)
x= cos(x)
2x^2+x-1=0 <=> 2cos^2(x) + cos(x) -1=0
soit, x= -1 ou x= 1/2
J'ai fais un cercle trigonométrique est je trouve :
Dans ]-pi; pi], S= {2pi/3; 4pi/3; pi} Est-ce correct ?

a)
-2sin^2(x) + cos(x) +1=0
On a sin^2(x) +cos^2(x)=1
soit sin^2(x)=1- cos^2(x)

d'où: -2(1-cos^2(x))+ cos(x)+1=0
-2+2cos^2(x) + cos(x) +1=0
2cos^2(x)+cos(x)-2+1=0
2cos^2(x)+cos(x)-1=0
Est-ce cela ?

Cordialement

[sos-math(28)]

Bonsoir Clara

Dans ]-pi; pi], S= {2pi/3; 4pi/3; pi} Est-ce correct ?

Vérifie bien que toutes tes solutions appartiennent à ]-pi; pi]

[Clara]

Bonjour,

Veuillez m'excuser, mais je pense que les solutions sont :
S={-1;pi}.

Cordialement.