SOS-MATH

Bonjour,


1) La fonction inverse est-elle décroissante sur IR* ? Justifiez votre réponse.

Soit g la fonction définie par g(x) = 1/x sur IR* (diviser par 0 est interdit).

Soit deux réels a et b tel que a < b.
Cela donne : 1/a < 1/b puisque inverser change l'ordre des réels.
Ainsi on a : g(a) < g(b) et a < b.

Cela prouve que la fonction inverse est décroissante sur IR*.

2) Démontrer que la fonction racine carrée est strictement décroissante sur IR+.

Soit f la fonction définie par f(x) = \(\sqrt{x}\) sur IR+ (les racines des nombres négatifs n'existent pas).

Soit a et b deux réels positifs tels que a < b. Comme a et b sont supérieurs à 0, ils sont rangés dans le même ordre que leurs racines carrées
Ainsi on a :\(\sqrt{a}\) <\(\sqrt{b}\) => f(a) < f(b) et a < b.

Cela prouve que la fonction racine carrée est strictement croissante sur IR+.


Qu'en pensez-vous ?


Bonne journée,
L.P.

Bonjour Laura,

Pour la fonction racine carré tu as raison, elle est bien croissante sur R+

Pour la fonction inverse tu as \({-2} < 5\) et \(\frac{1}{-2}<\frac{1}{5}\) car les négatifs sont toujours plus petits que les positifs, ce qui contredit que la fonction inverse est décroissante sur R*.

Tu dois donc distinguer R- d'une part et R+ de l'autre.

Bon courage

Bonjour,


Oui, je ne me suis pas relue, en effet, les signes restent les mêmes alors qu'ils ne devraient pas !

1) La fonction inverse est-elle décroissante sur IR* ? Justifiez votre réponse.

Soit g la fonction définie par g(x) = 1/x sur IR* (diviser par 0 est interdit).

Soit deux réels a et b tel que a < b.
Cela donne : 1/a > 1/b puisque inverser change l'ordre des réels.
Ainsi on a : g(a) > g(b) et a < b.

Cela prouve que la fonction inverse est décroissante sur IR*.


CQFD.

Bonjour Laura,

tu n'as pas tenu compte de la remarque de mon collègue : il faut "distinguer R- d'une part et R+ de l'autre.".


Ta règle "inverser change l'ordre des réels" est fausse si les deux réels n'ont pas le même signe ...
Exemple : -2 < 2 et -1/2 < 1/2, j'ai pris l'inverse et l'ordre n'a pas changé !

Ta démonstration est juste à condition de la faire pour les deux cas : a < b < 0 et 0 < a < b.

SoSMath