Bonjour,
1) La fonction inverse est-elle décroissante sur IR* ? Justifiez votre réponse.
Soit g la fonction définie par g(x) = 1/x sur IR* (diviser par 0 est interdit).
Soit deux réels a et b tel que a < b.
Cela donne : 1/a < 1/b puisque inverser change l'ordre des réels.
Ainsi on a : g(a) < g(b) et a < b.
Cela prouve que la fonction inverse est décroissante sur IR*.
2) Démontrer que la fonction racine carrée est strictement décroissante sur IR+.
Soit f la fonction définie par f(x) = \(\sqrt{x}\) sur IR+ (les racines des nombres négatifs n'existent pas).
Soit a et b deux réels positifs tels que a < b. Comme a et b sont supérieurs à 0, ils sont rangés dans le même ordre que leurs racines carrées
Ainsi on a :\(\sqrt{a}\) <\(\sqrt{b}\) => f(a) < f(b) et a < b.
Cela prouve que la fonction racine carrée est strictement croissante sur IR+.
Qu'en pensez-vous ?
Bonne journée,
L.P.
Démonstrations sur les fontions inverse et racine
-
SoS-Math(11)
- Messages : 2881
- Enregistré le : lun. 9 mars 2009 18:20
Re: Démonstrations sur les fontions inverse et racine
Bonjour Laura,
Pour la fonction racine carré tu as raison, elle est bien croissante sur R+
Pour la fonction inverse tu as \({-2} < 5\) et \(\frac{1}{-2}<\frac{1}{5}\) car les négatifs sont toujours plus petits que les positifs, ce qui contredit que la fonction inverse est décroissante sur R*.
Tu dois donc distinguer R- d'une part et R+ de l'autre.
Bon courage
Pour la fonction racine carré tu as raison, elle est bien croissante sur R+
Pour la fonction inverse tu as \({-2} < 5\) et \(\frac{1}{-2}<\frac{1}{5}\) car les négatifs sont toujours plus petits que les positifs, ce qui contredit que la fonction inverse est décroissante sur R*.
Tu dois donc distinguer R- d'une part et R+ de l'autre.
Bon courage
-
Laura
Re: Démonstrations sur les fontions inverse et racine
Bonjour,
Oui, je ne me suis pas relue, en effet, les signes restent les mêmes alors qu'ils ne devraient pas !
1) La fonction inverse est-elle décroissante sur IR* ? Justifiez votre réponse.
Soit g la fonction définie par g(x) = 1/x sur IR* (diviser par 0 est interdit).
Soit deux réels a et b tel que a < b.
Cela donne : 1/a > 1/b puisque inverser change l'ordre des réels.
Ainsi on a : g(a) > g(b) et a < b.
Cela prouve que la fonction inverse est décroissante sur IR*.
CQFD.
Oui, je ne me suis pas relue, en effet, les signes restent les mêmes alors qu'ils ne devraient pas !
1) La fonction inverse est-elle décroissante sur IR* ? Justifiez votre réponse.
Soit g la fonction définie par g(x) = 1/x sur IR* (diviser par 0 est interdit).
Soit deux réels a et b tel que a < b.
Cela donne : 1/a > 1/b puisque inverser change l'ordre des réels.
Ainsi on a : g(a) > g(b) et a < b.
Cela prouve que la fonction inverse est décroissante sur IR*.
CQFD.
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SoS-Math(9)
- Messages : 6351
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:10
Re: Démonstrations sur les fontions inverse et racine
Bonjour Laura,
tu n'as pas tenu compte de la remarque de mon collègue : il faut "distinguer R- d'une part et R+ de l'autre.".
Ta règle "inverser change l'ordre des réels" est fausse si les deux réels n'ont pas le même signe ...
Exemple : -2 < 2 et -1/2 < 1/2, j'ai pris l'inverse et l'ordre n'a pas changé !
Ta démonstration est juste à condition de la faire pour les deux cas : a < b < 0 et 0 < a < b.
SoSMath
tu n'as pas tenu compte de la remarque de mon collègue : il faut "distinguer R- d'une part et R+ de l'autre.".
Ta règle "inverser change l'ordre des réels" est fausse si les deux réels n'ont pas le même signe ...
Exemple : -2 < 2 et -1/2 < 1/2, j'ai pris l'inverse et l'ordre n'a pas changé !
Ta démonstration est juste à condition de la faire pour les deux cas : a < b < 0 et 0 < a < b.
SoSMath