enigme

[pauline]

Dix nénuphars sont alignés sur un étang. Une grenouille veut passer du premier nénuphar au dixième, en faisant des sauts de grenouille, puisque c'est une grenouille ! À chaque saut elle peut sauter sur le nénuphar suivant, mais elle peut aussi sauter directement sur celui d'après, si bien que s'il n'y avait que trois nénuphars elle aurait alors deux parcours possibles ...

- Mais combien ai-je donc de parcours possibles ? » se demande la grenouille

désolé j'avais oublié la question

Je disais il me semble que l'on peut avec les probabilités allez plus vite ( au lieu d'écrire toutes les issues possibles)
merci

[SoS-Math(9)]

Bonjour Pauline,

Pour 2 nénuphars, tu as 1 parcours.
Pour 3 nénuphars, tu as 2 parcours.
Pour 4 nénuphars, tu as ... parcours.
Pour 5 nénuphars, tu as ... parcours.

Complète les pointillés, tu vas alors remarquer un lien entre le nombre de nénuphars et le nombre de parcours ...

SoSMath.

[pauline]

pour 4 nénuphars il y a 3 parcours
pour 5 nénuphars il y a 4 parcours
donc pour 10 nénuphars 11 parcours ?
Cela traduit il une fonction affine ?

[SoS-Math(9)]

Pauline,
tu as commis une erreur ...
pour 5 nénuphars il y a 5 parcours ...
et pour 6 nénuphars il y a 8 parcours ...

avec cela tu dois pouvoir continuer.

SoSMath.

[pauline]

j'ai ensuite trouver pour 7 nénuphars 12 parcours
pour 8 nénuphars 17 parcours
pour 9 nénuphars 23 parcours
pour 10 nénuphars 30 parcours
j'ai trouvé ses réponses en faisant les issues possibles car je ne vois pas le lien q'il y a entre le nombre de nénuphar et le nombre de parcours
Merci de votre réponse

[SoS-Math(9)]

Bonjour Pauline,

Ton compte est faux !
pour 7 nénuphars, il y a 13 parcours
pour 8 nénuphars, il y a 21 parcours
...
Posons, \(p_n\) le nombre de parcours pour n nénuphars.
Si tu ajoutes 1 nénuphars aux n précédents, alors la grenouille a deux possibilités (on suppose qu'elle part du 1er nénuphar) :
soit elle saute sur le 2ème nénuphar et donc elle se retrouve dans la situation où il y avait n nénuphars donc elle aura \(p_n\) parcours;
soit elle saute sur le 3ème nénuphar et donc elle se retrouve dans la situation où il y avait n-1 nénuphars donc elle aura \(p_{n-1}\) parcours;

Avec cela tu peux exprimer \(p_{n+1}\) en fonction de \(p_{n}\) et \(p_{n-1}\).

SoSMath.

[pauline]

ah donc pour 9 nénuphars il y a 34 parcours
pour 10 nénuphars il y a 55 parcours

Il suffit d'additionner les parcours possibles des 2 nénuphars précédents ?
Merci beaucoup

[SoS-Math(9)]

C'est ça Pauline,

SoSMath.