SOS-MATH

Bonjour,

j'ai un devoir maison sur l'irrationalité de √2

énoncé :

L’objectif étant de prouver que √2 est irrationnel, on va donc supposer le contraire : √2 est rationnel. C'est a dire qu'on peut écrire √2=p/q avec p appartient a ℤ et q appartient a ℤ et p et q sont premiers entre eux.

-> Pourquoi doit-on ( ou peut-on ) supposer que p et q sont premiers entre eux ?

Pour cette question, j'ai supposé le contraire, p et q ne sont pas premiers entre eux.
On a donc un diviseur commun a>1 tel que p=axm et q=axn avec m et n deux entiers
on a : p/q=(a*m)/(a*n)=m/n

Mais je ne pense pas que cette démonstration soit en accord avec la question posée, pouvez vous me donner quelques indications s'il vous plait ?




-> Quelle est la parité de 2q² ?

Je ne comprends pas cette question car je ne pense pas avoir réellement compris la définition de parité. J'ai fait quelques recherches mais je ne comprends pas. Pouvez vous m'expliquer cette notion s'il vous plait ?

Merci d'avance, Camille.

Bonjour,
dans la démonstration, on a besoin de supposer les entiers premiers entre eux car c'est cette donnée qui va mener à une contradiction (en effet, on fait un raisonnement par l'absurde en supposant le contraire de ce ce qu'on veut démontrer et en prouvant que cette supposition mène à quelque chose de faux).
Le fait que les entiers soient premiers entre eux signifie en fait que la fraction \(\frac{p}{q}\) est irréductible, ce qui est toujours possible à obtenir : faire une telle hypothèse est tout à fait envisageable.
La parité d'un nombre entier est le fait qu'il soit multiple de 2 ou non : 2,4, 6,8, .... sont les entiers pairs tandis que 1,3,5,7,9,11,... sont les entiers impairs.
Pars donc de l'hypothèse que \(\sqrt{2}\) est rationnel, c'est à dire qu'il peut s'écrire comme quotient de deux entiers, ces deux entiers pouvant donc être supposés premiers entre eux.
On a donc \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\).
Élève tout au carré et écris cette égalité en ligne, il faudra ensuite utiliser la parité...
Bon courage