Polynôme du second degrés
Posté : mer. 1 oct. 2014 18:10
Bonjour, j'aurais besoin de votre aide pour savoir si mon exo comporte des erreurs. Merci d'avance :
Un polynôme qui ne contient que les termes x2, x4 et une constante est un polynôme bicarré, comme par exemple g(x)=\(x^4+3x^2+1\)
1) On veut résoudre l'équation bicarré (E) : \(2x^4+x^2-6=0\)
a. Pour cela, on effectue un changement de variable. Poser \(u=x^2\) et résoudre l'équation associé d'inconnue \(u\) : \(2u^2+u-6=0\)
b. Pourquoi ne retient on que les valeurs positives de \(u\)?
c. En déduire les solutions de (E)
2) Résoudre par le même procédé l'équation bicarrée : \(x^4 + 4x^2 - 5 = 0\)
Réponses:
1)
a) E= \(2u^2+u-6=0\)
Δ= \(b^2-4ac\)
Δ= 1 -4*2*(-6)
Δ= 1+48 = 49 > 0 Donc il admet 2 solutions :
\(x1 = \frac{-b-\sqrt{49}}{2a}= \frac{-1-7}{4} = -2\)
\(x2 = \frac{-b+\sqrt{49}}{2a}= \frac{-1+7}{4} = \frac{3}{2}\)
b) Comme \(u = x^2\) nous n'obtiendrons que des chiffres positifs ou nul car le carré de nombres positifs ou négatifs donne toujours un nombre positif
c) Comme \(u = x^2\) nous avons : \(x= \sqrt{u}\)
u= -2 impossible car la racine d'un nombre négatif est impossible
\(u2= \frac{3}{2}\) il admet 2 solutions \(x= -\sqrt{\frac{3}{2}}\) et \(x = \sqrt{\frac{3}{2}}\)
2) \(u = x^2\) donc \(u^2+4u-5=0\)
Δ= \(b^2-4ac\)
Δ= 16 -4*(-5)
Δ= 16+20 = 36 > 0 Donc il admet 2 solutions :
\(x1 = \frac{-b-\sqrt{36}}{2a}= \frac{-4-6}{2} = -5\)
\(x2 = \frac{-b+\sqrt{36}}{2a}= \frac{-4+6}{2} = 1\)
Comme \(u = x^2\) nous avons : \(x= \sqrt{u}\)
u= -5 impossible car la racine d'un nombre négatif est impossible
\(u2= 1\) il admet 2 solutions \(x= -1\) et \(x = 1\)
Un polynôme qui ne contient que les termes x2, x4 et une constante est un polynôme bicarré, comme par exemple g(x)=\(x^4+3x^2+1\)
1) On veut résoudre l'équation bicarré (E) : \(2x^4+x^2-6=0\)
a. Pour cela, on effectue un changement de variable. Poser \(u=x^2\) et résoudre l'équation associé d'inconnue \(u\) : \(2u^2+u-6=0\)
b. Pourquoi ne retient on que les valeurs positives de \(u\)?
c. En déduire les solutions de (E)
2) Résoudre par le même procédé l'équation bicarrée : \(x^4 + 4x^2 - 5 = 0\)
Réponses:
1)
a) E= \(2u^2+u-6=0\)
Δ= \(b^2-4ac\)
Δ= 1 -4*2*(-6)
Δ= 1+48 = 49 > 0 Donc il admet 2 solutions :
\(x1 = \frac{-b-\sqrt{49}}{2a}= \frac{-1-7}{4} = -2\)
\(x2 = \frac{-b+\sqrt{49}}{2a}= \frac{-1+7}{4} = \frac{3}{2}\)
b) Comme \(u = x^2\) nous n'obtiendrons que des chiffres positifs ou nul car le carré de nombres positifs ou négatifs donne toujours un nombre positif
c) Comme \(u = x^2\) nous avons : \(x= \sqrt{u}\)
u= -2 impossible car la racine d'un nombre négatif est impossible
\(u2= \frac{3}{2}\) il admet 2 solutions \(x= -\sqrt{\frac{3}{2}}\) et \(x = \sqrt{\frac{3}{2}}\)
2) \(u = x^2\) donc \(u^2+4u-5=0\)
Δ= \(b^2-4ac\)
Δ= 16 -4*(-5)
Δ= 16+20 = 36 > 0 Donc il admet 2 solutions :
\(x1 = \frac{-b-\sqrt{36}}{2a}= \frac{-4-6}{2} = -5\)
\(x2 = \frac{-b+\sqrt{36}}{2a}= \frac{-4+6}{2} = 1\)
Comme \(u = x^2\) nous avons : \(x= \sqrt{u}\)
u= -5 impossible car la racine d'un nombre négatif est impossible
\(u2= 1\) il admet 2 solutions \(x= -1\) et \(x = 1\)