SOS-MATH

Bonjour, je viens aujourd'hui demander votre aide pour un problème où j'ai passé pas mal de temps et qui ne se relie en rien aux notions de fonction que l'on a pu aborder l'année précédente.
Je n'ai vraiment pas pu avancer, tout brouillon s'avérait faux. Voici l'intitulé :

Soit f définie sur [0;1] par : f(x)= x/1+x

1) Etudiez le sens de variation de f
2) Dresser son tableau de variation

3) Démontrer que f(x) = 1-(1/1+x)
4) Démontrer que si 0<x<1/10, alors 0<f(x)<1/11

C'est la première partie...

Si vous pouviez me mettre sur des pistes ou même juste m'avancer un truc, j'ai pas mal de blocages là dessus, que des fausses pistes :/

Merci d'avance :)

Bonjour Thomas,

Il faut calculer f'(x).
f est de la forme \(\frac{u}{v}\)
\(\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u'v-uv'}{v^2}\)
Ensuite, on étudie le signe de la fonction dérivée sur [0;1] pour connaître les variations de f.

Pour démontre que \(f(x)=1-\frac{1}{1+x}\), on part de \(1-\frac{1}{1+x}\) et on réduit au même dénominateur.

Pour la question 4, on utilisera ce que l'on a obtenu à la question 3.

Bon courage.

Merci beaucoup !
Pour la question 3, j'ai fait ceci :
1-1/(1+x) = x/x - 1/(1+x)
= x[(1+x-x)/(x(1+x)]
= (x+x^2-x) / (x+x^2)
= x^2 / (x+x^2)
= x / (1+x)

Donc 1-1/(1+x) = x / (1+x) = f(x)

Je ne pense pas avoir utilisé la bonne méthode, qu'en dites vous ?

Bonjour Thomas,

En effet...
Et si vous écriviez \(1=\frac{x+1}{x+1}\).

A bientôt.

Merci encore !
En effet la solution est plus probante ;)
En revanche je ne comprend rien au calcul de la fonction dérivé... Je n'ai jamais vu cela en cours et je n'arrive pas à trouver la nuance entre u et u', et v et v'. D'autant que je ne sais pas vraiment comment l'appliquer dans le calcul.
En tous cas merci pour votre aide passée

Bonjour,

Ici \(u(x)=x\) et \(v(x)=x+1\).
Donc \(u^{\prime}(x)=1\) et \(v^{\prime}(x)=1\).

Il faut appliquer la formule donnée dans l'un de mes messages précédents.

A bientôt.
Ps: si vous êtes en première, vous n'avez sûrement pas vu cela encore et cet énoncé est curieux dans ce cas.
Demander alors des précisions à votre professeur.

Merci beaucoup !
On a donc : 1(1+x)-1(1)/(1+x)^2 = 1+x-1/(1+x)^2 = x/(1+x)^2 ?
Et pour le tableau de variation : f(x) -> 1/x, et f'(x) -> -1/x^2
Ce qui donne x : - 0 +
(1+x)^2 : + +
f'(x) : - 0 +
f(x) : Décroit, 0, Accroit

C'est ce que j'ai pu tenter de résoudre, mais c'est la 1ère fois que je fais cela. Et d'ailleurs pour 1 = 1+x/1+x
On a donc : 1+x/1+x - 1/1+x = x/1+x
Merci beaucoup pour m'avoir mis sur ces pistes précieuses

Bonsoir Thomas,

Il y a des erreurs.
On trouve \(f^{\prime}(x) = \frac{1}{(1+x)^2}\).

Il est aisé de trouver le signe de la dérivée.

Ce qui donnera les variations de f.

A bientôt.

Bonjour,
Merci de la remarque, j'ai corrigé : (1+x)-x(0-1)/(1+x)^2 = 1+x-x/(1+x)^2 = 1/(1+x)^2
Mais f(x)= 0 n'est jamais atteint. Comment pouvons nous alors dresser le tableau de variation de la fonction ?
Merci d'avance.

Bonjour,

Je ne comprends pas la remarque "mais fx)=0 n'est jamais atteint"...
La fonction dérivée donne les coefficients directeurs des tangentes à la courbe de f.
Si la fonction dérivée est strictement positive sur un intervalle I (ce qui est le cas ici), on peut conclure que la fonction f est strictement croissante sur I.

A bientôt.

Bonjour,
Je comprend...
Ma question serait alors : comment démontrer que f(x) est croissante sur [0:1] ?

Merci

Je vous invite à bien relire tous les messages précédents, la réponse à votre question est dedans.
Bon courage

SOS-math