Exercice Dérivée

[aurore508]

Bonjour,
je suis actuellement en 1èreS et mon professeur nous a donné comme exercice :

Quel doit être le format (hauteur, rayon) d’une boite de conserve cylindrique pour que, pour un volume donné, la quantité de métal pour la concevoir, qu’on supposera proportionnelle à sa surface, soit minimale.

Je sais que le volume d'un cylindre est : pi*r²*h
Mais n'ayant aucune autre donnée, je ne sais pas comment faire.
Il y a t il quelqu'un qui puisse m'aider ?
Cordialement

[sos-math(21)]

Bonjour,
Si on part de la demande, on a deux inconnues qui donnent le format de la boite : le rayon \(r\) et la hauteur \(h\).
Cela fait une inconnue de trop !
Or, on sait que le volume est constant, par exemple on va le noter \(K\).
Comme, ce volume est constant, on va pouvoir exprimer \(h\) en fonction de \(r\) : \(K=\pi\times r^2\times h\) donne \(h=\frac{K}{\pi\times r^2}\).
Il te reste à exprimer la surface de métal utilisée (deux disques de rayon \(r\) et un rectangle de dimensions \(h\) et le périmètre du disque (le tour de la boite)), tout cela en fonction de \(r\), pour avoir une fonction \(S(r)\) et trouver son minimum par un calcul de dérivée.
Bon courage

[aurore508]

je dois donc etudier cette fonction s(r)=2K/x+2pix2 ?
Comment faire sa dérivée avec K?
Merci en tout cas :)

[sos-math(21)]

Bonjour,
Oui c'est la bonne fonction.
La dérivée doit se calculer avec K comme une constante donc \(\left(\frac{2K}{r}\right)'=-\frac{2K}{r^2}\)
Et on continue...

[aurore508]

Je n'ai pas vu les constantes.. possible d'avoir plus d'informations ?

[sos-math(21)]

Les constante sont des nombres comme 8, 5 -12, ....
Ici le volume est constant, il a une certaine valeur qu'on ne connait pas et qu'on note \(K\).
Pour les dérivées, cela se comporte comme un nombre.
Termine le calcule de la dérivée en utilisant ce que j'ai dit dans mon précédent message et étudie le signe de cette dérivée...
Bons calculs

[ludo]

bonjour je cherche juste une information:
je ne comprend 2pix2 c'est 2*pi*2 ou 2*pi*r*2 ou encore 2*pi*r²
merci d'avance pour cette information

[SoS-Math(31)]

Bonjour,
\(\frac{2K}{r}\) + 2(\(\pi\) multiplié par r²).

[Perdu en maths]

Je ne comprend pas comment vous avait trouvé la fonction S

[Perdu en maths]

Je ne comprend pas comment vous avait trouvé la fonction S

[sos-math(21)]

Bonjour,
avec un schéma, ce sera peut-être plus clair.

Bon décryptage.

[léa]

Bonjour, j'ai cet énoncé d'exercice sur lequel je bloque depuis quelques heures et je serais très reconnaissante si vous pouviez m'aider.

Afin de conserver des friandises pour les commercialiser, on souhaite construire des boîtes en métal de forme cylindrique de contenance 1 L. Pour cela, on étudie le patron de cette boîte, composé d’un rectangle et de deux disques (l’un pour le fond, l’autre pour le couvercle). On note r le rayon de la boîte et h sa hauteur.
Quels sont le rayon r et la hauteur h de cette boîte permettant d’utiliser une quantité de métal minimale ? On donnera les résultats sous forme de valeurs approchées à 10^-2 près.

J'ai déjà réalisé plusieurs choses:
En sachant que 1L=1000 cm^3
V=π*r^2*h soit h=V/π*r^2
donc, h=1000/π*r^2

L'aire totale de métal à utiliser : A(r)=aire du rectangle+aire des disques
A(r)=L*l+2*π*r
A(r)=h*2*π*r^2+(π*r*2)
A(r)= ((1000/π*r^2)*2*π*r^2)+(π*r*2)
A(r)=(2000/r)+(π*r*2)
Arrivée à ce point, je suis bloquée. Il me semble que je doive faire une dérivée et étudier les variations, mais π m'embête. Je ne sais pas comment le dériver.
Merci d'avance.

[SoS-Math(33)]

Bonjour Léa,
Il y a une erreur dans le calcul de l'aire, il y a deux disques.
\(\pi\) est un nombre, il se divise comme les autres nombres.
Ainsi la dérivée de \(\pi r^2\) est \(2\pi r\)
Je te laisse poursuivre

[Léa]

Je vous remercie pour votre aide.
J'ai cependant un autre problème,

Ma fonction est donc :
S(r)= 2πr²+(2000/r)
S'(r)=4πr-(2000/r²)

Donc S('r)=0 soit S'(r)=(4πr³-2000)/r²

r=³√(2000/4π)
r=5,4
Mon rayon doit être de 5,4cm, et je dois calculer la hauteur en remplaçant l'inconnue r avec mon résultat dans
h=Vcylindre/πr²
Je ne comprends pas comment faire un tableau de sign e pour conjecturer les variations de S
Merci,

[SoS-Math(31)]

Bonjour Léa,
r² est toujours positif donc S'(r) > 0 si 4\(\pi r^{3}-2000>0 donc 4\pi r^{3} > 2000 donc r^{3} > \frac{2000}{4\pi}soit r>\sqrt[3]{\frac{2000}{4\pi}}\). On peut ainsi trouver les variation de S.