SOS-MATH

Bonsoir,
Je travaille sur les suites et les puissances me posent problème comme dans ces exemples:
Je ne comprends pas le résultat:
\(\frac{4*3^n}{4*3^(n+1)}\)= \(\frac{1}{3}\)
Je pensais faire : (\(\frac{4}{4}\))*(\(\frac{3^n}{3^(n+1)}\))
et \(\frac{3^n}{3^n+1}\) mais je vois pas comment faire, je voulais soustraire les puissances.
Pareil pour:
\(\frac{2*5^n}{5^n+1}\)=\(\frac{2}{5}\)
Je ne vois pas comment faire avec les puissances...

Merci d'avance.

Bonsoir,
Il faut déjà bien être d'accord sur la notation :
tu as à simplifier : \(\frac{4\times 3^n} {4\times 3^{n+1}}\), les 4 se simplifient et il reste les puissances.
TU dois connaitre la règle : \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\) que tu peux utiliser ici, mais on peut voir les choses autrement avec la règle \(a^m\times a^n=a^{m+n}\).
En écrivant \(\frac{\cancel{4}\times 3^n} {\cancel{4}\times 3^{n+1}}=\frac{\cancel{3^n}}{\cancel{3^n}\times 3^1}=\frac{1}{3^1}=\frac{1}{3}\).
Est-ce plus clair ? Le deuxième est identique.
Bonne continuation

Oui, c'est beaucoup plus clair ! Merci beaucoup.
J'ai une autre question concernant les suites mais cette fois avec minorant et majorant. En effet, je pensais avoir compris et voir la différence avec minimum et maximum jusqu'au moment où j'ai su qu'un majorant pouvait être atteint et de même pour un minorant. Dans ce cas je ne vois plus trop la différence hormis qu'il existe une infinité de majorant et minorant comparé au maximum et minimum.
Je cherchais aussi des exemples de représentation graphique avec des questions concernant minorant et majorant mais je n'en ai pas trouvé: Si l'on me demande de déterminer graphiquement un majorant d'une suite, je regarde le premier terme en fonction de son sens de variation ?

Merci d'avance.

Bonjour,
Un majorant \(M\) d'une suite est un nombre qui est au-dessus de tous les termes d'une suite : \(\mbox{Pour tout entier} n\in\mathbb{N}, u_n\leq M\)
Un minorant \(m\) d'une suite est un nombre qui est en-dessous de tous les termes d'une suite : \(\mbox{Pour tout entier} n\in\mathbb{N}, u_n\geq m\).
On peut trouver des minorants ou des majorants sans trouver pour autant le max et le min d'une suite.
Ces notions (majorant et minorant) sont souvent utiles pour la convergence de la suite grâce aux théorèmes :
Une suite croissante et majorée converge,
Une suite décroissante et minorée converge
Pour trouver des majorants graphiquement, il faut encadrer les points de la suite par deux lignes horizontales : Dans cet exemple : on peut prendre comme majorant n'importe quel nombre supérieur ou égal à 5, et comme minorant n'importe quel nombre inférieur ou égal à 2.
As-tu compris ?

Bonjour,
Oui, j'ai compris l'idée et la représentation graphique mais toujours pas:

sos-math(21) a écrit : On peut trouver des minorants ou des majorants sans trouver pour autant le max et le min d'une suite.

Si il n'y a pas de maximum, c'est qu'elle croît à l'infini ? Et dans ce cas, il n'y a pas de maximum ni de majorant mais un minorant qui est son premier terme ?

Merci d'avance.

Tu peux avoir des majorants sans avoir de maximum : un maximum doit être atteint pour une valeur de n. (même chose pour les minorants).
Par exemple la suite définie par \(u_n=1-0,8^n\). Cette suite se représente par : Elle est majorée par 1 mais elle n'a pas de maximum : elle converge vers 1 mais c'est une limite, ce qui veut dire qu'elle ne l'atteint jamais.
Elle a en revanche un minimum : 0 atteint pour n=0.
As-tu compris la nuance entre majorant et maximum ?

Oui, je comprends beaucoup mieux. Donc si jamais il y a un maximum, c'est aussi un majorant, le plus petit ? Et de même pour le minimum qui cette fois est le plus grand des minorants ?
Si j'ai une représentation graphique mais avec une suite récurrente, alors je procède de même, mais je regarde cette fois l'axe des abscisses ?

Merci d'avance.

Oui,
le maximum est le plus petit des majorants et le minimum est le plus grand des minorants.
Si c'est avec une suite récurrence, c'est plus difficile de regarder les majorants mais effectivement comme on renvoie à chaque fois les \(u_n\) sur l'axe des abscisses, il s'agit de voir si ces valeurs se cantonnent dans des intervalles du type :
- du type \([a\,;\,b]\) : suite majorée et minorée, on dit suite bornée ;
- du type \([a\,;\,+\infty[\) : suite minorée ;
- du type \(]-\infty\,;\,b]\) : suite majorée.
j'espère que tu y vois un peu plus clair.

C'est beaucoup plus clair, merci beaucoup !

Bonne continuation.