Exercice "Application de la Dérivée"

[Shanon]

Bonjour,

Une entreprise fabrique une quantité q, exprimée en tonnes, d'un certain produit. q varie de 0 à 20 tonnes. Le bénéfice est, en milliers d'euros, donné par B(q) = -q^3+30q²-216q.

Pour quelle valeur q0 de q le bénéfice est-il maximal ? Vous donnerez une valeur approchée de q0 à 0,1 près.

J'ai calculé tout d'abord la dérivée de B(q) soit B'(q) = -3q²+60q-216

Seulement je ne sais pas comment procéder ensuite. Je sais qu'il faut faire le tableau de variations mais lorsque je calcule discriminant je trouve des valeurs abracadabrantes.

Pourriez vous m'éclairer ?

Merci d'avance !

[SoS-Math(9)]

Bonjour Shanon,

Après avoir calculé la dérivée, il faut étudier son signe ...
Ici tu as un trinôme du second degré, donc tu sais étudier son signe ... regarde dans ton cours sur le second degré.

SoSMath.

[Shanon]

Oui donc calculer le discriminant, c'est bien ce que j'ai dit ..

[SoS-Math(9)]

Bonjour Shanon,

Tu as \(\Delta=60^2-4\times(-3) \times (-216)=1008\)
donc les racines sont : \(x_1=10+2\sqr{7}\) et \(x_2=10-2\sqr{7}\).

Pourquoi les trouves-tu abracadabrantes ?

SoSMath.

[Shanon]

Oui c'est bien ce que j'ai fait pourtant mais j'ai dû me tromper dans mes calculs ! Merci.

Je dois ensuite faire un tableau de variations de la fonction dérivée, c'est ça ?

[SoS-Math(9)]

Shanon,

Il faut étudier le signe de la dérivée ... pour en déduire les variations de la fonction.

SoSMath.

[Shanon]

Voici mon exercice :

[sos-math(21)]

C'est bon pour le signe de la dérivée.
Mais pour le tableau de variation, il faut calculer les images de B (pas de B' !) :
Au bout de la première flèche : \(B(0)=-0^3+30\times 0^2-216\times 0=...\)
Et il faut faire de même pour les autres valeurs.
Bon calculs

[Shanon]

Merci de me l'avoir dit car je me demandais toujours pourquoi mes images étaient fausses !

Au bout de la première flèche je trouve 0, ensuite -3927.5 puis 89795.5 et enfin -320.

Sinon pour la question de l'exercice, le bénéfice maximal est de 89 795.5 euros ?

[sos-math(21)]

Je ne suis pas d'accord avec tes deux valeurs "centrales".
Reprends ton calcul.

[Shanon]

Pour la première valeur "centrale" : -456.3
Pour la seconde valeur "centrale" : 136.3

[sos-math(21)]

C'est mieux !
Bonne continuation

[Shanon]

Merci, j'en déduis que le bénéfice maximal q0 est de 136,3 euros ?

[sos-math(21)]

Oui, cela correspond au maximum de ta fonction de bénéfice sur l'intervalle \([0\,;\,20]\).
Bonne rédaction.

[Shanon]

Merci Beaucoup pour votre aide.