Bonjour,
j'étudie la monotonie des suites, j'ai compris sur des exemples simples cependant je suis bloquée. En effet je ne vois pas quelle méthode utiliser:
1/un=1+1/2+1/3+...+1/n
2/ un=1*2*3...*n
3/ un=n^2/2^n
4/ un=10 et un+1=un+8n^2-42n+55
Concernant la 1/, j'ai utilisé la différence et j'ai abouti à quelque chose de croissant.
Cependant je ne vois pas comment m'y prendre pour la 2/.
Pour la 3/, je pense utiliser la méthode du quotient
et pour
la 4/ celle de la différence. Etant donné que j'ai un+1, je voulais déterminer un en soustrayant 1 aux n mais lorsque j'ai 8n^2, dois-je noter 8(n-1)^2 ? J'ai un doute pour l'emplacement des parenthèses.
Merci d'avance
Suites
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SoS-Math(9)
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Re: Suites
Bonjour Julie,
suite 1 : elle en effet croissante.
suite 2 : \(u_{n+1}-u_n=1\times 2\times 3 ...\times n \times(n+1)-1\times 2\times 3 ...\times n\)
Tu peux factoriser ...
suite 3 : la méthode du quotient est une bonne idée.
suite 4 : tu as un+1 - un = 8n^2-42n+55.
Ici il faut étudier le signe du trinôme du second degré 8n^2-42n+55 ...
SoSMath.
suite 1 : elle en effet croissante.
suite 2 : \(u_{n+1}-u_n=1\times 2\times 3 ...\times n \times(n+1)-1\times 2\times 3 ...\times n\)
Tu peux factoriser ...
suite 3 : la méthode du quotient est une bonne idée.
suite 4 : tu as un+1 - un = 8n^2-42n+55.
Ici il faut étudier le signe du trinôme du second degré 8n^2-42n+55 ...
SoSMath.
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Julie 1°s
Re: Suites
Voici ce que j'ai fait pour u0=10 et un+1=un+8n^2-42n+55:
Un=f(n) avec f(x)= 8x^2-42x+55
f est dérivable sur R en tant que fonction polynômiale et pour tout x appartenant à R.
f'(x)=16x-42
16x-42=0
<=>16x=42
<=>x=21/8
Cependant je ne comprends pas à quoi servait u0=10 dans l'énoncé.
Pour Un=n^2/2^n:
Pour tout N*, Un est différent de 0.
Un+1=(n+1)^2/2^n+1
Un+1/Un= [(n+1)^2/2^n+1]/[n^2/2^n]
=[(N+1)^2/2^n+1]*[2^n/n^2]
Et la je suis bloquée, dois-je multiplier numérateur et dénominateur ?
Pour la suite 2, je ne vois pas comment factoriser...
Merci d'avance.
Un=f(n) avec f(x)= 8x^2-42x+55
f est dérivable sur R en tant que fonction polynômiale et pour tout x appartenant à R.
f'(x)=16x-42
16x-42=0
<=>16x=42
<=>x=21/8
Cependant je ne comprends pas à quoi servait u0=10 dans l'énoncé.
Pour Un=n^2/2^n:
Pour tout N*, Un est différent de 0.
Un+1=(n+1)^2/2^n+1
Un+1/Un= [(n+1)^2/2^n+1]/[n^2/2^n]
=[(N+1)^2/2^n+1]*[2^n/n^2]
Et la je suis bloquée, dois-je multiplier numérateur et dénominateur ?
Pour la suite 2, je ne vois pas comment factoriser...
Merci d'avance.
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SoS-Math(9)
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Re: Suites
Julie,
Pour la suite 2, tu as le facteur commun 1*2*3*...*n !!!!
Pour la suite 3, le quotient ne donne "rien", donc il faut essayer l'autre méthode : u(n+1)-un.
Vérifie que \(u_{n+1}-u_n=\frac{-n^2+2n+1}{2^{n+1}}\). Il te reste à étudier le signe de \(\ -n^2+2n+1\).
Suite 4. u0 sert à calculer u1 qui sert à calculer u2 et ainsi de suite ...
Ce n'est pas les variations de 8n^2-42n+55 qu'il faut étudier mais son signe !
Pour cela tu as besoin des racines (calcule le discriminant ...).
SoSMath.
Pour la suite 2, tu as le facteur commun 1*2*3*...*n !!!!
Pour la suite 3, le quotient ne donne "rien", donc il faut essayer l'autre méthode : u(n+1)-un.
Vérifie que \(u_{n+1}-u_n=\frac{-n^2+2n+1}{2^{n+1}}\). Il te reste à étudier le signe de \(\ -n^2+2n+1\).
Suite 4. u0 sert à calculer u1 qui sert à calculer u2 et ainsi de suite ...
Ce n'est pas les variations de 8n^2-42n+55 qu'il faut étudier mais son signe !
Pour cela tu as besoin des racines (calcule le discriminant ...).
SoSMath.
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Julie 1°s
Re: Suites
Pour la suite 2: Un+1-Un= (1*2*3*...*n)(n(n+1)-1) ?
Pour la suite 3: J'ai étudié le signe mais je ne comprends pas le passage de [(n+1)^2]/[2^(n+1)]-n^2/2^n au résultat (-n^2+2n+1)/2^(n+1).
Pour la suite 4: J'ai aussi étudié signe mais je n'arrive toujours pas à comprendre le lien avec U0.
Merci d'avance.
Pour la suite 3: J'ai étudié le signe mais je ne comprends pas le passage de [(n+1)^2]/[2^(n+1)]-n^2/2^n au résultat (-n^2+2n+1)/2^(n+1).
Pour la suite 4: J'ai aussi étudié signe mais je n'arrive toujours pas à comprendre le lien avec U0.
Merci d'avance.
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sos-math(21)
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Re: Suites
Bonjour,
pour la factorisation, il y a une erreur : \(u_{n+1}-u_n=\underline{1\times 2\times....\times n}\times(n+1)-\underline{1\times 2\times....\times n}=1\times 2\times....\times n\times[n+1-1]\) : je te laisse conclure.
Pour la deuxième, on étudie le signe de la différence \(u_{n+1}-u_n\) : il faut au préalable tout mettre au même dénominateur pour étudier le signe.
On obtient une fonction polynome du second degré au numérateur et on calcule le discriminant.
Pour la suivante, la différence \(u_{n+1}-u_n\) est du signe de \(8n^2-42n+55\) : on étudie le signe de cette différences (polynôme du second degré et discriminant), et on obtient son signe. Le fait de donner \(u_0=10\) n'est pas inutile, on en a besoin pour conclure.
Pour les deux dernières, il faut conclure en se demandant : Est-ce que le signe de la différence \(u_{n+1}-u_n\) est toujours constant pour tous les entiers \(n\)?
Si oui, la fonction est monotone, sinon elle ne l'est pas.
Je te laisse encore réfléchir...
pour la factorisation, il y a une erreur : \(u_{n+1}-u_n=\underline{1\times 2\times....\times n}\times(n+1)-\underline{1\times 2\times....\times n}=1\times 2\times....\times n\times[n+1-1]\) : je te laisse conclure.
Pour la deuxième, on étudie le signe de la différence \(u_{n+1}-u_n\) : il faut au préalable tout mettre au même dénominateur pour étudier le signe.
On obtient une fonction polynome du second degré au numérateur et on calcule le discriminant.
Pour la suivante, la différence \(u_{n+1}-u_n\) est du signe de \(8n^2-42n+55\) : on étudie le signe de cette différences (polynôme du second degré et discriminant), et on obtient son signe. Le fait de donner \(u_0=10\) n'est pas inutile, on en a besoin pour conclure.
Pour les deux dernières, il faut conclure en se demandant : Est-ce que le signe de la différence \(u_{n+1}-u_n\) est toujours constant pour tous les entiers \(n\)?
Si oui, la fonction est monotone, sinon elle ne l'est pas.
Je te laisse encore réfléchir...
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Julie 1°s
Re: Suites
Bonjour,
Pour la deuxième suite: Un=1*2*3*...*n
Un+1-Un=1*2*3*...*n[n+1-1]
Un+1-Un=1*2*3*...*n*n
Cela semble positif mais je ne vois pas comment le prouver car à l'intérieur je peux avoir un terme négatif non ?
Pour la suite 3: Un+1-Un= [(n+1)^2]/[2^(n+1)]-n^2/2^n
= [n^2+2n+1]/[2^(n+1)]-[n^2/2^n]
= [2^n(n^2+2n+1)]/[2^(n+1)*2^n]-[n^2*2^(n+1)]/[2^n*2^(n+1)]
Je ne vois pas comment continuer...
Pour la suite 4: Je ne comprends toujours pas.
Je viens de commencer ce chapitre et nous n'avons fait en cours que des exemples "faciles" du moins basiques par exemple: on a U0=50 et Un+1=Un-3n et habituellement je m'appuie sur ces derniers pour appliquer la méthode aux exercices suivants mais là je ne vois pas comment m'y prendre.
Merci d'avance.
Pour la deuxième suite: Un=1*2*3*...*n
Un+1-Un=1*2*3*...*n[n+1-1]
Un+1-Un=1*2*3*...*n*n
Cela semble positif mais je ne vois pas comment le prouver car à l'intérieur je peux avoir un terme négatif non ?
Pour la suite 3: Un+1-Un= [(n+1)^2]/[2^(n+1)]-n^2/2^n
= [n^2+2n+1]/[2^(n+1)]-[n^2/2^n]
= [2^n(n^2+2n+1)]/[2^(n+1)*2^n]-[n^2*2^(n+1)]/[2^n*2^(n+1)]
Je ne vois pas comment continuer...
Pour la suite 4: Je ne comprends toujours pas.
Je viens de commencer ce chapitre et nous n'avons fait en cours que des exemples "faciles" du moins basiques par exemple: on a U0=50 et Un+1=Un-3n et habituellement je m'appuie sur ces derniers pour appliquer la méthode aux exercices suivants mais là je ne vois pas comment m'y prendre.
Merci d'avance.
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sos-math(21)
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Re: Suites
le nombre \(1\times2\times ...\times n\times n\) est composé d'entiers naturels qui sont tous des nombres positifs donc...
Pour la deuxième, mon collègue t'a déjà aidé :
\(u_{n+1}-u_n=\frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}-\frac{n^2}{2^n}\) il faut mettre au même dénominateur en multipliant par 2 la deuxième fraction : \(2^n\times 2=2^{n+1}\)
donc on a \(u_{n+1}-u_n=\frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}-\frac{2n^2}{2^{n+1}}=\frac{(n+1)^2-2n^2}{2^{n+1}}=\frac{-n^2+2n+1}{2^{n+1}}\) en développant.
Donc le signe de la différence de \(u_{n+1}-u_n\) est donné par le signe de \({-n^2+2n+1}\).
Tu l'as étudié auparavant et tu as vu que ... A-t-on pour tout entier n, \(u_{n+1}-u_n\geq 0\) ou bien a-t-on toujours pour tout entier n, \(u_{n+1}-u_n\leq 0\) ?
Réponds à cette question.
La troisième est exactement la même démarche.
Pour la deuxième, mon collègue t'a déjà aidé :
\(u_{n+1}-u_n=\frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}-\frac{n^2}{2^n}\) il faut mettre au même dénominateur en multipliant par 2 la deuxième fraction : \(2^n\times 2=2^{n+1}\)
donc on a \(u_{n+1}-u_n=\frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}-\frac{2n^2}{2^{n+1}}=\frac{(n+1)^2-2n^2}{2^{n+1}}=\frac{-n^2+2n+1}{2^{n+1}}\) en développant.
Donc le signe de la différence de \(u_{n+1}-u_n\) est donné par le signe de \({-n^2+2n+1}\).
Tu l'as étudié auparavant et tu as vu que ... A-t-on pour tout entier n, \(u_{n+1}-u_n\geq 0\) ou bien a-t-on toujours pour tout entier n, \(u_{n+1}-u_n\leq 0\) ?
Réponds à cette question.
La troisième est exactement la même démarche.
-
Julie 1°s
Re: Suites
Je pense avoir compris:
Suite 2: Vn \(\in\) N
Un+1-Un= 1*2*3*...*n*(n+1)-1*2*3*...*n
Un+1-Un= 1*2*3*...*n*n
Donc Un+1-Un>0
Un+1>Un
donc u est strictement croissante.
Suite 3: Vn \(\in\) N
Un+1-Un= \(\frac{-n^2+2n+1}{2^(n+1)}\)
Or n\(\leq\) 0
donc le signe de Un+1-Un dépend de -n^2+2n+1
Or, d'après le tableau de signe on remarque que pour :
]-\(\infty\);-\(\sqrt{2}\)+1[ \(\cup\) ]\(\sqrt{2}\)+1;+\(\infty\) [
-n^2+2n+1<0 donc Un+1-Un<0
donc Un+1<Un
donc u est strictement décroissante.
-Pour [-\(\sqrt{2}\)+1;\(\sqrt{2}\)+1]
-n^2+2n+1>0 donc Un+1-Un>0
donc Un+1>Un
donc u est strictement croissante.
Donc est n'est pas monotone.
Suite 4: U0=10 et Un+1=Un+8n^2-42n+55
Un+1-Un=8n^2-42n+55
Or d'après le tableau de signe on remarque que pour:
]-\(\infty\) ;5/2[ \(\cup\) ]11/4; +\(\infty\)[
8n^2-42n+55>0 donc Un+1-Un>0
donc Un+1>Un
donc u est strictement croissante.
-Pour [5/2;11/4]
8n^2-42n+55<0 donc Un+1-Un<0
donc Un+1<Un
donc u est strictement décroissante.
Donc elle n'est pas monotone.
La présentation vous semble-t-elle correcte ?
Remarque: Pour les racines, le +1 n'est pas en puissance.
Merci d'avance.
Suite 2: Vn \(\in\) N
Un+1-Un= 1*2*3*...*n*(n+1)-1*2*3*...*n
Un+1-Un= 1*2*3*...*n*n
Donc Un+1-Un>0
Un+1>Un
donc u est strictement croissante.
Suite 3: Vn \(\in\) N
Un+1-Un= \(\frac{-n^2+2n+1}{2^(n+1)}\)
Or n\(\leq\) 0
donc le signe de Un+1-Un dépend de -n^2+2n+1
Or, d'après le tableau de signe on remarque que pour :
]-\(\infty\);-\(\sqrt{2}\)+1[ \(\cup\) ]\(\sqrt{2}\)+1;+\(\infty\) [
-n^2+2n+1<0 donc Un+1-Un<0
donc Un+1<Un
donc u est strictement décroissante.
-Pour [-\(\sqrt{2}\)+1;\(\sqrt{2}\)+1]
-n^2+2n+1>0 donc Un+1-Un>0
donc Un+1>Un
donc u est strictement croissante.
Donc est n'est pas monotone.
Suite 4: U0=10 et Un+1=Un+8n^2-42n+55
Un+1-Un=8n^2-42n+55
Or d'après le tableau de signe on remarque que pour:
]-\(\infty\) ;5/2[ \(\cup\) ]11/4; +\(\infty\)[
8n^2-42n+55>0 donc Un+1-Un>0
donc Un+1>Un
donc u est strictement croissante.
-Pour [5/2;11/4]
8n^2-42n+55<0 donc Un+1-Un<0
donc Un+1<Un
donc u est strictement décroissante.
Donc elle n'est pas monotone.
La présentation vous semble-t-elle correcte ?
Remarque: Pour les racines, le +1 n'est pas en puissance.
Merci d'avance.
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sos-math(21)
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Re: Suites
tu as fait quelques erreurs,
et tu peux aller plus vite : tu écris \(n\leq 0\), alors qu'on a toujours \(\geq 0\).
Ensuite, pour le deuxième, comme \({-n^2+n+1}\), n'est pas de signe constant sur \([0\,;\,+\infty[\), intervalle où se tiennent tous les entiers naturels, on en déduit tout de suite que la suite n'est pas monotone.
Pour le troisième, c'est le même type de raisonnement.
Bonne conclusion et ne te complique pas trop.
et tu peux aller plus vite : tu écris \(n\leq 0\), alors qu'on a toujours \(\geq 0\).
Ensuite, pour le deuxième, comme \({-n^2+n+1}\), n'est pas de signe constant sur \([0\,;\,+\infty[\), intervalle où se tiennent tous les entiers naturels, on en déduit tout de suite que la suite n'est pas monotone.
Pour le troisième, c'est le même type de raisonnement.
Bonne conclusion et ne te complique pas trop.
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Julie 1°s
Re: Suites
Ah oui, je n'ai pas fait attention pour n :)
C'est vrai qu'on pouvait faire plus simple !
Je comprends beaucoup mieux, merci beaucoup !
C'est vrai qu'on pouvait faire plus simple !
Je comprends beaucoup mieux, merci beaucoup !
-
SoS-Math(9)
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Re: Suites
A bientôt Julie,
SoSMath.
SoSMath.