Exercice DM

[Emilie]

Bonjour, je n'arrive pas à résoudre une question d'un exercice de mon dm. (je suis en 1èreS)

J'ai f(x) = -x² - x + 6 et sa courbe y= mx + 10

Je dois déterminer les coordonnées des points d'intersections de ces tangentes avec la courbe, les valeurs de m et les équations des tangentes.

J'ai déjà trouver les valeurs de m = -5 et m = 3
et par conséquent les équations des tangentes, y = -5x + 10 et y = 3x = 10

Mais pour déterminer les coordonnées des points d'intersections, je sèche...
Je sais qu'il faut faire

-5x + 10 = -x² - x + 6 et 3x + 10 = -x² - x + 6 mais je ne trouve pas un résultat bon car le -x² me bloque. Sachant que j'ai les coordonnées des points d'intersection (-2 ; 4) et (2 ; 0) mais je n'arrive pas à le démontrer.

Merci de votre aide ! Emilie

[SoS-Math(11)]

Bonjour Emilie,

Tu dois résoudre : \({-5x + 10} = {-x^2 - x + 6}\) en regroupant tout dans le membre de gauche cela te donne \(x^2-4x+4=0\).
Utilise alors une identité et déduis-en l'unique solution.
Remplace alors la valeur de \(x\) que tu viens de trouver dans la formule \({-x^2 - x + 6}\) pour trouver l'ordonnée du point de contact (intersection).

Procède de même pour l'autre.

Bon courage

[Emilie]

Merci de votre réponse, cependant je rencontre un problème pour trouver le deuxième point d'intersection.

Pour -5x + 10, j'ai fait

-5x+ 10 = -x² - x + 6
-5x + 10 + x² + x - 6 = 0
x² - 4x + 4 = 0

donc

(x-2)² = 0 alors x = 2
et en remplaçant dans la fonction d'origine, je trouve -2² - 2 + 6 = 0 donc le point a pour coordonnée (2 ; 0) (ce qui correspond au résultat que je connaissais déjà).

Mais pour 3x + 10, je trouve

3x + 10 = -x² - x + 6
3 x + 10 + x² + x - 6 = 0
x² + 4x + 4 = 0
donc (x+2)² = 0 alors x = -2
mais en remplaçant dans la fonction, je trouve -(-2)² - (-2) + 6 soit 4 + 2 + 6 = 12... or d'après le résultat je devrais trouver 4 ? Je ne comprends pas où je me suis trompée...

[SoS-Math(11)]

Tu as juste une erreur de signe dans \({ -(-2)^2 - (-2) + 6} = {-(4)+2+6}\).

Corrige et conclus, sinon tout est bon.

A bientôt sur le forum

[Emilie]

Merci pour votre réponse !

J'ai une autre question, qui concerne un exercice différent.

Je dois déterminer la valeur pour laquelle la fonction f(x) = \(sqrt{(2x - |x|)^2}\) n'est pas dérivable.
Je sais qu'elle n'est pas dérivable en 0 mais je n'arrive pas à la démonstration.

J'ai déjà fait :

\(sqrt{(2x - |x|)^2}\) = |2x - |x||,

et si x \(\geq\) 0, f(x) = |2x - x|
et si x \(\leq\) 0, f (x) = |2x + x|.

J'ai donc fait ça pour la démonstration :

lim (x->0 ; x > 0) [f(x) - f(0)] / [x - 0] = lim (x -> 0 ; x > 0) [|2x - |x||] / [x] = \(\infty\)

et

lim (x -> 0 ; x < 0) [f(x) - f(0)] / [ x - 0] = lim (x -> 0 ; x < 0 [|2x + |x||] / [x] = + \(\infty\)

Comme les deux limites x > 0 et x < 0 ne sont pas égales, alors f(x) n'est pas dérivable en cette valeur.

Je ne suis pas du tout sûre de mon résultat...
Merci pour votre aide

[SoS-Math(11)]

Tu as fais des simplifications mais tu peux encore simplifier :

Pour \(x\) positif, tu as \(|x|=x\), donc tu as bien commencé, je termine : \(sqrt{(2x - |x|)^2} = |2x - |x||=|2x-x|=|x|=x\)

Fais de même pour \(x\) négatif, tu vas obtenir une autre fonction linéaire.

Ensuite quand tu calcules \(\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\) tu obtiens \(\frac{x-0}{x-0}\) simplifie avant de chercher la limite. Cette limite est finie.

Fais de même pour \(x\) négatif, tu auras une autre limite donc la fonction ne sera pas dérivable. De plus si tu as une limite infinie, de suite, tu peus affirmer que la fonction n'est pas dérivable.

Bon courage pour les calculs.