Angles et polygônes réguliers

[Patrick]

Bonjour/soir,

Voici un petit exercice sur le thème des angles polaires associé aux polygones inscrits dans le cercle.
Je pense que l'essentiel est là, mais je ne vois pas comment améliorer cette rédaction ?

On considère, le plan orienté, un cercle de centre \(O\) et une demi droite de référence \(Ox\); le sens de parcours sur le cercle est le sens direct.

- 1°) A, B, C sont les sommets d'un triangle équilatéral inscrit dans le cercle.
Calculer, en fonction de l'angle polaire \((\overrightarrow{Ox}, \overrightarrow{OA})=\alpha\), les angles polaires \((\overrightarrow{Ox}, \overrightarrow{OB})\) et \((\overrightarrow{Ox}, \overrightarrow{OC}).\)

- 2°) \(A_1, A_2... A_n\) sont les sommets d'un d'un polygone régulier convexe de \(n\) côtés incrit dans le cercle.
Calculer, en fonction de l'angle polaire \((\overrightarrow{Ox}, \overrightarrow{OA})=\alpha\ :\)
- a) les angles polaires \((\overrightarrow{Ox}, \overrightarrow{OA_2})\), ...\((\overrightarrow{Ox}, \overrightarrow{OA_n})\)
- b) L'angle polaire de la médiatrice \((\overrightarrow{Ox}, \overrightarrow{OH_p})\) du côté \(A_p A_p_+_1\); \(p\) est un entier compris entre 1 et \(n\).
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1°) Les angles au centre, formés par les sommets d'un triangle équilatéral incrit dans un cercle sont égaux entre eux à : \(\dfrac{2\pi}{3}.\)
\((\overrightarrow{Ox}, \overrightarrow{OB})=(\overrightarrow{Ox}, \overrightarrow{OA})+\dfrac{2\pi}{3}=\alpha+\dfrac{2\pi}{3}\) et \((\overrightarrow{Ox}, \overrightarrow{OC})=(\overrightarrow{Ox}, \overrightarrow{OA})+\dfrac{4\pi}{3}=\alpha+\dfrac{4\pi}{3}.\)

2°) Les angles au centre, formés par les sommets d'un polygone convexe de \(n\) côtés, incrit dans un cercle, sont égaux entre eux à : \(\dfrac{2\pi}{n}.\)
- 2a) \((\overrightarrow{Ox}, \overrightarrow{OA_2})=(\overrightarrow{Ox}, \overrightarrow{OA})+\dfrac{2\pi}{n}=\alpha+\dfrac{2\pi}{n}\) et \((\overrightarrow{Ox}, \overrightarrow{OA_p})= (\overrightarrow{Ox}, \overrightarrow{OA})+(p-1)\dfrac{2\pi}{n}=\alpha+(p-1)\dfrac{2\pi}{n}.\)
- 2b) L'angle polaire de la médiatrice : \((\overrightarrow{Ox}, \overrightarrow{OH_p})=\dfrac{(\overrightarrow{Ox}, \overrightarrow{OA_p})+(\overrightarrow{Ox}, \overrightarrow{OA_p_+_1})}{2}=\dfrac{\alpha+(p-1)\dfrac{2\pi}{n}+\alpha+(p+1-1)\dfrac{2\pi}{n}}{2}\Leftrightarrow\)
\((\overrightarrow{Ox}, \overrightarrow{OH_p})=\dfrac{2\alpha+(2p-1)\dfrac{2\pi}{n}}{2}=\alpha+\dfrac{\pi}{n}(2p-1).\)

Merci pour vos commentaires,
@+

[SoS-Math(4)]

Bonsoir ,

ça a l'air très bien.
On peut préciser que les résultats sont modulo 2pi.

sosmaths