Discuter les solutions suivant les valeurs d'un paramètre
Posté : ven. 20 sept. 2013 14:52
Bonjour,
Je pense que c'est correct, mais Merci beaucoup pour une vérification !
Soit le système de 2 équations :
\(\left\{x+y=2\\ x^2y^2+4xy=m^2-4\right.\)
où \(x\) et \(y\) sont les inconnues; \(m\) est un paramètre.
Discuter l'existence et le nombre des solutions de ce système dans \(\mathbb{R}\) suivant les valeurs de \(m\).
____________________________________________________________________
Remarques : si je substitue dans la 2ème ligne, \(x\) ou \(y\) j’obtiens une équation du 3ème degré.
La 1ère ligne du système est l'équation d'une droite, mais quid de la 2ème ?
Comme \(m\) intervient par son carré, peut-on simplifier la discussion ?
Avec cette forme, on peux construire un autre système avec les fonctions symétriques élémentaires :
\(S=x+y\) et \(P=xy\).
\(\left\{S=2\\ P^2+4P-m^2+4=0\right.\)
Après ce changement d'inconnues le système est plus simple à étudier.
La 2ème ligne est une équation du second degré en \(P\).
Son discriminant : \(\Delta_m=16-4(4-m^2)=4m^2\ge0\).
On en déduit simplement les deux solutions :
\(P'=\dfrac{-4+2m}{2}=m-2\) et \(P''=\dfrac{-4-2m}{2}=-(m+2)\)
A ce stade, les deux couples de solutions : \((2;\,m-2),\ (2;\,-(m+2))\),
vont servir de coefficients dans l'équation du 2ème degré somme/produit et déterminer l'existence,
suivant les valeurs de \(m\), des deux paires de solutions \((x,\,y)\) du système initial.
La 1ère équation avec les coefficients \((2;\,m-2)\) va s'écrire :
\(X_1^2-2X_1+m-2=0\) et son discriminant : \(\Delta_1=4-4(m-2)=4(-m+3)\) est positif pour \(m\le3\)
On en déduit que le couple de valeurs \((x,\,y)\) associé à cette équation existe ssi \(m\le3\).
De même la 2ème équation avec les coefficients \((2;-(m+2))\) va s'écrire :
\(X_2^2-2X_2-(m-2)=0\) et son discriminant : \(\Delta_2=4+4(m+2)=4(m+3)\) est positif pour \(m\ge-3\)
On en déduit que le couple de valeurs \((x,\,y)\) associé à cette équation existe ssi \(m\ge-3\).
En conclusion, le système initial possède deux solutions \((x,\,y)\) ssi \(m\in [-3;\,3]\) CQFD ?
@+ :-)
Je pense que c'est correct, mais Merci beaucoup pour une vérification !
Soit le système de 2 équations :
\(\left\{x+y=2\\ x^2y^2+4xy=m^2-4\right.\)
où \(x\) et \(y\) sont les inconnues; \(m\) est un paramètre.
Discuter l'existence et le nombre des solutions de ce système dans \(\mathbb{R}\) suivant les valeurs de \(m\).
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Remarques : si je substitue dans la 2ème ligne, \(x\) ou \(y\) j’obtiens une équation du 3ème degré.
La 1ère ligne du système est l'équation d'une droite, mais quid de la 2ème ?
Comme \(m\) intervient par son carré, peut-on simplifier la discussion ?
Avec cette forme, on peux construire un autre système avec les fonctions symétriques élémentaires :
\(S=x+y\) et \(P=xy\).
\(\left\{S=2\\ P^2+4P-m^2+4=0\right.\)
Après ce changement d'inconnues le système est plus simple à étudier.
La 2ème ligne est une équation du second degré en \(P\).
Son discriminant : \(\Delta_m=16-4(4-m^2)=4m^2\ge0\).
On en déduit simplement les deux solutions :
\(P'=\dfrac{-4+2m}{2}=m-2\) et \(P''=\dfrac{-4-2m}{2}=-(m+2)\)
A ce stade, les deux couples de solutions : \((2;\,m-2),\ (2;\,-(m+2))\),
vont servir de coefficients dans l'équation du 2ème degré somme/produit et déterminer l'existence,
suivant les valeurs de \(m\), des deux paires de solutions \((x,\,y)\) du système initial.
La 1ère équation avec les coefficients \((2;\,m-2)\) va s'écrire :
\(X_1^2-2X_1+m-2=0\) et son discriminant : \(\Delta_1=4-4(m-2)=4(-m+3)\) est positif pour \(m\le3\)
On en déduit que le couple de valeurs \((x,\,y)\) associé à cette équation existe ssi \(m\le3\).
De même la 2ème équation avec les coefficients \((2;-(m+2))\) va s'écrire :
\(X_2^2-2X_2-(m-2)=0\) et son discriminant : \(\Delta_2=4+4(m+2)=4(m+3)\) est positif pour \(m\ge-3\)
On en déduit que le couple de valeurs \((x,\,y)\) associé à cette équation existe ssi \(m\ge-3\).
En conclusion, le système initial possède deux solutions \((x,\,y)\) ssi \(m\in [-3;\,3]\) CQFD ?
@+ :-)