SOS-MATH

Bonsoir,

Énoncé :

Un atelier réalise le polissage de lentilles. A la sortie du robot de polissage, on classe les lentilles en suivants deux catégories A (haute qualité) et B (qualité moyenne). On contrôle la production en prélevant au hasard des échantillons de 80 lentilles.

La production est suffisamment importante pour considérer qu'il s'agit de tirages avec remise.
On suppose que la proportion de lentilles de type B est p= 15% (réglage type du robot).
On note X la variable aléatoire donnant le nombre de lentilles type B sur un échantillon de taille 80.

1. Quelle est la loi de X ?

Réponse:

On répète 80 fois de manière indépendante une expérience de Bernoulli à 1 issue, de succès: obtenir une lentille de moyenne qualité de probabilité P= 0,15.

2. Les limites de contrôle sont les bornes de l'intervalle de fluctuation à 95% de la fréquence. Calculez les limites de contrôle.

Je pensais calculer les limites en inscrivant dans « f(x) » avec ma calculatrice « binomFdp (80,0.15,X). Sauf que je me retrouve avec un tableau de valeur surprenant. Pouvez-vous m’aiguillez sur la démarche à suivre s’il vous plait?

3. Quelle est, sous réglage type, la probabilité de commettre une erreur de décision à partir d'un échantillon?

Réponse:

La probabilité de commettre une erreur de décision à partir d’un échantillon est de 5%.

Bonsoir,
Pour la loi binomiale, c'est bien cela. Tu as ensuite du voir dans ton cours que l'intervalle de fluctuation est l'intervalle \(\left[\frac{a}{n}\,;\,\frac{b}{n}\right]\) (\(n\) étant la taille de l'échantillon), a et b étant déterminés par :
- a est le plus petit entier tel que \(P(X\leq a)>0,025\) et
- b est le plus petit entier tel que \(P(X\leq b)\geq 0,975\)
En gros, tu as besoin des probabilités cumulées : sais-tu faire cela avec ta calculatrice ?
Si tu ne sais pas faire, renvoie moi un message.
Bon courage

Non, je ne sais pas faire.

Merci de bien vouloir m'expliquer.

Bonsoir,
Je t'ai déjà un peu répondu dans un autre message mais voici comment faire :
Tu as une TI,
Tu vas dans le mode table de ta calculatrice :
tu saisis f(X)=BinomFRép(80,0.15,X), (la fonction BinomFRép se trouve dans Shift+var)
Tu règles ton tableau de valeurs dans Tblset : début 0, fin 80, pas : 1.
Tu vas ensuite voir tin tableau de valeurs :
tu cherches alors la première valeur de X, telle que la probabilité dépasse 0,025 : c'est la première borne de ton intervalle
tu cherches ensuite la première valeur de X telle que la probabilité dépasse 0,975 : c'est la deuxième borne de ton intervalle.
Pour avoir un intervalle de fluctuation, c'est à dire un intervalle de fréquences, il faut diviser les valeurs trouvées par 80 : tu auras alors ton intervalle de fluctuation à 95% : 95% des échantillons de taille 80 auront une proportion de lentilles de type B à l'intérieur d'un intervalle.
Bon courage.

Merci encore de bien vouloir me répondre.

Juste pour vérification, l'intervalle de fluctuation correspond bien à [(6/80);(19/80)] ?

Bonsoir,
Cela me semble correct : 95% des échantillons de taille 80 ont une proportion de lentilles de type B comprise entre 6/80 et 19/80.
Bonne soirée

Merci d'avoir répondu à toutes mes questions.

Bonne soirée.

Bonsoir,
En espérant que tu aies compris la démarche, essentielle sur la loi binomiale, pour retrouver un intervalle de fluctuation.
Bon courage pour la suite.

sos-math(21) a écrit :Bonsoir,
Je t'ai déjà un peu répondu dans un autre message mais voici comment faire :
Tu as une TI,
Tu vas dans le mode table de ta calculatrice :
tu saisis f(X)=BinomFRép(80,0.15,X), (la fonction BinomFRép se trouve dans Shift+var)
Tu règles ton tableau de valeurs dans Tblset : début 0, fin 80, pas : 1.
Tu vas ensuite voir tin tableau de valeurs :
tu cherches alors la première valeur de X, telle que la probabilité dépasse 0,025 : c'est la première borne de ton intervalle
tu cherches ensuite la première valeur de X telle que la probabilité dépasse 0,975 : c'est la deuxième borne de ton intervalle.
Pour avoir un intervalle de fluctuation, c'est à dire un intervalle de fréquences, il faut diviser les valeurs trouvées par 80 : tu auras alors ton intervalle de fluctuation à 95% : 95% des échantillons de taille 80 auront une proportion de lentilles de type B à l'intérieur d'un intervalle.
Bon courage.

Et pour Casio ?

Bonjour,
Si tu veux obtenir les probabilités cumulées sur casio (à partir de graph 35, pour les graph 25, il faut faire un programme) avec la loi binomiale de paramètres n=80 (nombres de tirages) et p=0,15 (probabilité du succès) :
Dans le menu RUN, il faut d'abord afficher la liste des succès possibles en liste 1 : ce sont les entiers de 0 à 80.
On entre cela avec la commande :
SEQ(K,K,0,80,1)->List 1 (la commande SEQ se trouve dans OPTN- List- Seq, la fonction list aussi.
Une fois cela fait, on peut afficher les probabilités cumulées en tapant :
BinomialCD(80,0.15)->list 2 (la commande BinomialCD se trouve dans OPTN- STAT-DIST-Binomial- Bcd).
Tu cherches ensuite les bornes de ton intervalle de fluctuation à 95% :
tu vas dans le menu STAT :
tu cherches alors la première valeur de la liste 1, telle que la probabilité cumulée en liste 2 dépasse 0,025 : c'est la première borne de ton intervalle
tu cherches ensuite la première valeur de la liste 1, telle que la probabilité cumulée en liste 2 dépasse 0,975 : c'est la deuxième borne de ton intervalle.
Tu peux aussi le faire à la calculatrice en tapant successivement :
Sum(List 2<=0.025)
Sum(List 2<=0.975)
Pour revenir à un intervalle de fréquence, il te faudra diviser les valeurs obtenues par 80.
As-tu compris ?

J'ai tout reussi sauf le > a la fin quand on ecrit Sum(List2<=0.025)
Le signe superieur je le trouve pas !

Les signes \(>\, ;\, <\,;\, \leq \,;\, \geq\) s'obtiennent en allant dans le catalogue : SHIFT+touche 4 (catalog)...
Bonne conclusion.

P(x>k)=1-p(x<=k)