Application du produit scalaire dans un cercle

[eleve17]

Bonjour j'ai quelques soucis pour terminer un exercice de devoir maison.
Voici l'énoncé:
Soit (C) un cercle de centre O et de rayon r et P un point situé à l'intérieur de ce cercle. Tracer une droite passant par P qui coupe le cercle en deux points M et M'.
On note T, le point du cercle diamétralement opposé à M.
1)a) Faire une figure

cercle.PNG (7.86 Kio) Vu 3460 fois

b) Justifier que vec(PM) . vec(PM') = vec(PM) . vec(PT) NB: vec(AB) signifie le vecteur AB , je n'arrive pas à faire les flèches ^^

Soit M et T, deux points de (C) diamétralement opposés. On a donc [MT] diamètre de (C)
Soit M' un point de (C). On a donc MM'T triangle inscrit dans le cercle (C).
Or, si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour coté un diamètre de ce même cercle alors ce triangle est rectangle et le diamètre est son hypoténuse.
Donc MM'T est rectangle en M'.
Par conséquent, M' est le projeté orthogonal de T sur (MM')
on a donc vec(PM) . vec(PM') = vec(PM) . vec(PT)

c)En déduire que vec(PM) . vec(PM') = PO² -r²

vec(PM). vec(PT) = ( vec(PO) + vec(OM)) . (vec(PO) + vec(OT))
= vec(PO) . vec(PO) + vec(OM) . Vec(OT) + vec(PO) . vec(OM) + vec(PO).vec(OT)
or vec(OM) = -vec(OT) d'où vec(PO) . vec(OM) + vec(PO) . vec(OT) = 0

vec(PM). vec(PT) = vec(PO) . vec(PO) + vec(OM) . Vec(OT)
or vec(OM) et vec(OT) sont colinéaires et de sens contraires et OM = OT = r
donc:
vec(PM). vec(PT) = vec(PM) . vec(PM') = PO²-r²


2)La droite perpendiculaire à MM' passant par P coupe le cercle en N et N'
a) Compléter la figure

b)Justifier que vec(PM) . vec(PM') = vec(PN) . vec(PN') en utilisant 1)c)
vec(PM) . vec(PM') = PO²-r²
vec(PN) . vec(PN') = (vec(PO) + vec(ON)) . (vec(PO) + vec(ON))
= vec(PO) . vec(PO) + vec(ON) . vec(ON') + vec(PO) . vec(ON') + vec(PO) . vec(ON)
or vec(ON') = -vec(ON) d'où vec(PO) . vec(ON) + vec(PO) . vec(ON) = 0
donc vec(PN) . vec(PN') = vec(PO) . vec(PO) + vec(ON) . vec(ON')
or vec(ON) et vec(ON') sont colinéaires et de sens contraires et ON = ON' = r
donc vec(PN) . vec(PN') = vec(PM) . vec(PM') = PO² - r²

c)Soit I le milieu du segment [M'N'], montrer que vec(PI) = 1/2 ( vec(PM') + vec(PN') )
On sait que I est le milieu de [M'N']. D'après le théorème de la médiane dans le triangle OM'N' on a:
vec(PM')+ vec(PN') = 2 vec(PI)
d'ou vec(PI) = 1/2 ( vec(PM') + vec(PN'))

d) Calculer vec(MN) . vec(PI), que peut on en conclure et voilà je bloque^^

J'ai débuté ainsi:
vec(MN) . vec(PI) = (vec(MP) + vec(PN)) . ( 1/2vec(PM') + 1/2 vec(PN'))
= vec(MP) . 1/2vec(PM') + vec(PN) . 1/2vec(PM') + vec(MP) . 1/2 vec(PN') + vec(PN) . 1/2 vec(PN')
Or vec(PN) et 1/2vec(PM') ,et, vec(MP) et 1/2 vec(PN') sont orthogonaux donc
vec(MN) . vec(PI) = vec(MP) . 1/2vec(PM') + vec(PN) . 1/2 vec(PN')

Je ne sais pas quoi faire avec cela ^^

J'espère que vos réponses pourront m'éclairer.

Merci d'avance

[sos-math(21)]

Bonjour,
Tout d'abord, je te félicite pour ton travail qui est déjà bien avancé (et qui me semble correct)
Pour la dernière question, tu as bien démarré :
\(\vec{MN}.\vec{PI}=\left(\vec{MP}+\vec{PN}\right).\left(\frac{1}{2}\times\left(\vec{PM^,}+\vec{PN^,}\right)\right)\)
donc \(\vec{MN}.\vec{PI}=\frac{1}{2}\left(\vec{MP}+\vec{PN}\right).\left(\vec{PM^,}+\vec{PN^,}\right)\)
Après en développant, on a :
\(\vec{MN}.\vec{PI}=\frac{1}{2}\left(\vec{MP}.\vec{PM^,}+\vec{MP}.\vec{PN^,}+\vec{PN}.\vec{PM^,}+\vec{PN}.\vec{PN^,}\right)\)
Or dans ce calcul, on a \(\vec{MP}.\vec{PN^,}=0\) car les droites (NN') et (MM') sont perpendiculaires en P; de même, on a \(\vec{PN}.\vec{PM^,}=0\)
il reste donc \(\vec{MN}.\vec{PI}=\frac{1}{2}\left(\vec{MP}.\vec{PM^,}+\vec{PN}.\vec{PN^,}\right)\), or ces deux produits sont opposés :
\(\vec{PN}.\vec{PN^,}=PO^2-r^2\) et \(\vec{MP}.\vec{PM^,}=-\vec{PM}.\vec{PM^,}=r^2-PO^2\), finalement ce produit scalaire vaut .... ce qui prouve que les droites (MN) et (PI) sont ....
Je te laisse terminer.
Bon courage

[eleve17]

Merci. C'est vrai que je n'avais pas pensé à mettre 1/2 en facteur ^^

[sos-math(21)]

Bonsoir,
J'espère que tu as pu terminer ce devoir ; en tout cas, tu avais déjà fait du très bon travail avant mon "aide".
Bon courage pour la suite.

[eleve17]

2)b)
vec(PM) . vec(PM') = PO²-r²
vec(PN) . vec(PN') = (vec(PO) + vec(ON)) . (vec(PO) + vec(ON))
= vec(PO) . vec(PO) + vec(ON) . vec(ON') + vec(PO) . vec(ON') + vec(PO) . vec(ON)
or vec(ON') = -vec(ON) d'où vec(PO) . vec(ON) + vec(PO) . vec(ON) = 0
donc vec(PN) . vec(PN') = vec(PO) . vec(PO) + vec(ON) . vec(ON')
or vec(ON) et vec(ON') sont colinéaires et de sens contraires et ON = ON' = r
donc vec(PN) . vec(PN') = vec(PM) . vec(PM') = PO² - r²

en fait je me suis trompé je crois puisqu'içi les vecteurs vec(ON) et vec(ON') ne sont pas colinéaires du tout ^^
Il va falloir que je revois ce point, heureusement ça ne modifie pas mes autres réponses ^^

[sos-math(21)]

Bonsoir,
En effet, tu as raison,
Il faut donc reprendre la même chose qu'au 1)
Si tu notes S le point du cercle tel que [NS] soit un diamètre, on a \(\vec{PN}.\vec{PN^,}=\vec{PN}.\vec{PS}\), car N' est le projeté orthogonal de S sur (NN').
donc en reprenant la même démonstration de 1b), on a \(\vec{PN}.\vec{PN^,}=\vec{PN}.\vec{PS}=(\vec{PO}+\vec{ON}).(\vec{PO}+\vec{OS})=PO^2+\vec{PO}.\vec{OS}+\vec{PO}.\vec{ON}-r^2\),
et comme \(\vec{ON}=-\vec{OS}\), car ici O est bien le milieu de [NS], on a bien encore le résultat \(\vec{PN}.\vec{PN^,}=PO^2-r^2=\vec{PM}.\vec{PM^,}\)
Et l'histoire est réglée : en fait cette propriété est vraie pour n'importe quelle corde [VV'] passant par P, le produit scalaire \(\vec{PV}.\vec{PV^,}\) vaut toujours \(PO^2-r^2\) : on appelle cela la puissance du point P par rapport au cercle.
Je pense que tu peux désormais conclure.
A plus tard