Devoir sur les suites

[Clara]

Bonjour,
J'ai un devoir à rendre et j'ai quelques petites difficultés sur certaines questions. Voici le sujet et où j'en suis:

Soit (Un) la suite définie par: U0=-1 et Un+1= 1/4Un+2
1. La suite (Un) vérifie la relation de récurrence Un+1= f(Un). Donner la fonction numérique f correspondante.
J'ai trouvé f(x)=1/4x+2

2. Tracer la courbe représentative de la fonction f sur [-2;4].
3. Représenter à la règle les 4 premiers termes de la suite.
J'ai également fais ces 2 questions, et j'ai vérifié grâce à ma calculatrice et ma courbe est juste.

4. Soit la suite (Vn) définie par pour tout n de N, Vn= Un -8/3
a) Montrer que (Vn) est géométrique. Préciser la raison et le premier terme V0.
Si Vn=Un -8/3 alors V0=U0 - 8/3
= -1- 8/3 = -11/3
Pour tout n appartenant à N, Vn= Un - 8/3
Vn+1= Un+1 - 8/3
= 1/4 Un +2 -8/3
= 1/4 Un -2/3
= 1/4 (Un -8/3)
= 1/4 Vn
La suite Vn est de la forme Vn+1=Vn x q, donc elle est géométrique de raison 1/4 et de premier terme -11/3.

b)En déduire une expression de Vn en fonction de n.
Puisqu'on sait que la suite (Vn) est géométrique on peut dire par définition que Vn= V0 x q exposant n
= -11/3 x 1/4 exposant n
c) Déterminer Un en fonction de n.
C'est sur cette question que j'ai des difficultés, je ne comprends pas comment on peut trouver puisque on ne sait pas si Un est géométrique ou arithmétique.

5. Etudier le sens de variation de la suite (Un).
Il me faut l'expression de Un en fonction de n.

6. On considère la suite (Sn) définie pour tout entier naturel n par:
Sn= U0 + U1 + ... + Un
a) Déterminer Sn en fonction de n.
J'ai mis Sn= U0 x 1-q exposant n+1/ 1-q mais je ne suis pas sûre.

b) Ecrire un algorithme calculant la somme Sn en utilisant la boucle POUR
J'ai mis:
Initialisation: U<-- -1
S<-- 0
Traitement: Pour i allant de 1 à n
S<-- S+U
U<-- U x (il me manque la raison)
Fin Pour

Merci de votre aide par avance.

[SoS-Math(33)]

Bonjour,
4c) Déterminer Un en fonction de n.
Tu as : \(Vn= Un - \frac{8}{3}\) donc \(Un = Vn + \frac{8}{3}\) et tu as trouvé : \(Vn = \frac{-11}{3}(\frac{1}{4})^n\)
donc \(Un = \frac{-11}{3}(\frac{1}{4})^n + \frac{8}{3}\) = \(\frac{8}{3} + \frac{-11}{3}(\frac{1}{4})^n\)

[Clara]

Bonjour, merci pour cette réponse. Je suis maintenant à la question 5.
Or afin de trouver le sens de variation je fais Un+1 - Un, ce qui donne
8/3 + -11/3 x (1/4) exposant n+1 + 8/3 + -11/3 x (1/4) exposant n
8/3 + -11/3 x (1/4) exposant n x 1/4 + 8/3 + -11/3 x (1/4) exposant n
J'aimerais bien savoir si c'est possible de mettre -11/3 en facteur commun puisque sinon je ne sais pas comment faire pour les exposants n
Merci

[SoS-Math(30)]

Bonjour Clara,

Tout d'abord, ce que tu as calculé correspond à \(u_{n+1}+u_{n}\). Or, comme tu l'as écrit auparavant, on doit calculer \(u_{n+1}-u_{n}\).
\(u_{n+1}-u_{n}=\frac{8}{3}-\frac{11}{3}\left ( \frac{1}{4} \right )^{n+1}-\frac{8}{3}+\frac{11}{3}\left ( \frac{1}{4} \right )^{n}\).
Ainsi \(u_{n+1}-u_{n}=-\frac{11}{3}\left ( \frac{1}{4} \right )^{n+1}+\frac{11}{3}\left ( \frac{1}{4} \right )^{n}\)
Ensuite tu as raison de décomposer l'exposant n+1 :
\(u_{n+1}-u_{n}=-\frac{11}{3}\left ( \frac{1}{4} \right )^{n}\times \frac{1}{4}+\frac{11}{3}\left ( \frac{1}{4} \right )^{n}\).
Et oui, tu peux alors factoriser par \(\frac{11}{3}\) et même par \(\left (\frac{1}{4} \right )^{n}\).

SoSMath

[Clara]

Bonjour,
J'ai une petite question, pourquoi lorsqu'on calcule Un+1 - Un, on a 8/3 - 11/3 et de l'autre côté 8/3 + 11/3 ?

[SoS-Math(33)]

Bonjour Clara,
pour répondre à ta question c'est tout simplement car on prend l'opposé de Un.

\(u_{n+1}-(u_{n})=\frac{8}{3}-\frac{11}{3}\left ( \frac{1}{4} \right )^{n+1}-(\frac{8}{3}-\frac{11}{3}\left ( \frac{1}{4} \right )^{n})\).
\(=\frac{8}{3}-\frac{11}{3}\left ( \frac{1}{4} \right )^{n+1}-\frac{8}{3}+\frac{11}{3}\left ( \frac{1}{4} \right )^{n}\).

Comprends tu mieux?

[Clara]

Bonjour,
Oui effectivement après explications j'ai compris. La suite du calcul est donc:
-11/3 x (1/4) exposant n x 1/4 + 11/3 x (1/4) exposant n
(1/4) exposant n x ( -11/3 x 1/4 + 11/3 )
(1/4) exposant n x 11/4 ce qui donne donc 11/4 x 1/4 exposant n

[SoS-Math(33)]

Bonsoir Clara,
oui le calcul que tu fais est juste on obtient : \(\frac{11}{4}\left ( \frac{1}{4} \right )^{n}\)
Bonne soirée