Narration de recherche sur les fonctions

[Isatys]

Bonjour, je suis en première S et j'ai un Dm a trendre pour la rentrée mais malgré les nombreuses tentatives de recherches je ne trouve rien.

L'énoncé est le suivant:
On a représenté une fonction f dans le repère ci-dessous.
On a utilisé une seule expression. Quelle est elle?

[SoS-Math(33)]

Bonjour Isatys,
tu peux commencer par chercher l'équation de la droite qui passe par les points (0;4) et (2;0)
ensuite en cherchant un peut tu vas trouver pour la valeur absolue
il devrait y avoir deux valeurs absolues dans ton expression
Je te laisse faire les calculs.

[Isatys]

Merci pour l'aide donc pour l'équation de la droite je trouve -2x+4 et je me doute bien que l'expression doit avoir un lien avec celle-ci mais même maintenant je ne vois pas quoi faire.

[SoS-Math(33)]

Oui l'équation c'est bien cela,
maintenant essaye de voir où tu dois mettre déjà une première valeur absolue pour que tu obtiennes la bonne courbe sur [-2;2] puis peut être une autre pour que tu obtiennes la bonne courbe sur [-4;-2] et sur [2;4]

[Isatys]

J'ai donc comme vous me l'avez conseillé de chercher les expressions en fonction des intervalles.
J'ai trouvé que pour [-2;2]=-2|x|+4
[2;4]=2x+4.
Mais pour [-4;2] je ne trouve pas malgré les essais.

[sos-math(21)]

Tu as remarqué que la valeur absolue avait pour effet de faire une symétrie par rapport à l'axe horizontal : f(x)=|x| renvoie la partie négative de la fonction \(g(x)=x\) dans le demi-plan positif par symétrie axiale d'axe \((Ox)\).
Si tu as trouvé la bonne fonction positive sur l'intervalle \([-2\,;\,2]\), essaie de prendre la valeur absolue de cette expression afin que les parties négatives soient "renvoyées" par symétrie vers le demi plan positif.
Bon essai

[Isatys]

Je procède donc par symétrie et je trouve -2|x|-4.
Par contre puisqu'il ne faut qu'une seule expression il faudrait les relier.

[SoS-Math(33)]

Il te faut une seule expression valable pour les quatre morceaux.
Garde -2|x| + 4 et calcule pour x= -4;-2;0;2 et 4 et observe ce que tu obtiens et ce que tu voudrais obtenir et pense à l'effet de symétrie de la valeur absolue

[Isatys]

Après avoir remplacer les x, j'ai tracé la courbe et je me rends compte que les deux points aux extrémités devraient être placés parallèlement. Puisque ces deux points ont des ordonnées négatives je me suis dis qu'il fallait mettre la fonction entière en tant que valeur absolue et je trouve |-2|x|+4|.
Est ce que c'est ça?

[SoS-Math(33)]

Voilà tu as trouvé c'est bien
Bonne soirée

[Isatys]

Merci pour vos aides et bonne soirée.

[Isatys]

Bonsoir, j'aurai une dernière question, pourquoi avoir choisi de chercher l'équation de la droite passant par les points de coordonnées (0;4) et (2;0) et pas (-2;0) et (0;4) ?
Merci de votre réponse.

[SoS-Math(33)]

Bonsoir Isatys,
il est souvent plus facile de faire les calculs avec des nombres positifs surtout quand tu sais que tu vas avoir besoin de la valeur absolue.
Si tu prends (-2;0) et (0;4) au final tu trouveras le même résultat mais pour la valeur absolue c'est plus compliqué de la voir.
Tu peux essayer de le faire et tu verras ainsi la différence au niveau du calcul et tu constateras aussi que tu obtiens le même résultat.
Bonne soirée