déterminer les rayons de trois cercles tangents

[yann]

Bonjour à tous et à toutes,


J'ai trois cercles tangents deux à deux dans un meme plan de centre P1 ,P2 et P3
la distance entre P1 et P2 est de 4
la distance entre P2 et P3 est de 6
la distance entre P1 et P3 est de 7
je dois trouver un système d'équation linéaire à trois inconnues permettant de déterminer les rayons R 1 , R 2 et R3 de ces 3 cercles

il faudrait que je fasse un dessin sur ordinateur par contre je suis sur Macintosh et je ne sais pas comment faire ?

quand on me dit la distance entre P1 et P1 est de 4 , je ne comprends pas l'énoncé
il s'agit de la distance entre les 2 centres des 2 cercles P 1 et P 2 ou la distance entre Deux points pris sur l es 2 cercles ????

en supposant qu'il s'agisse de la distance entre les deux centres de P1 et de P2
alors je propose ce type d'équation R1 + R 1 = 4
est ce que je suis sur la bonne voie ???

[sos-math(21)]

Bonjour,
GeoGebra existe sous mac !
sinon, tu as bien traduit les conditions : tu obtiens un système de 3 équations à 3 inconnues :
\(\left\lbrace\begin{array}{rcl}r_1+r_2&=&4\\r_2+r_3&=&6\\r_1+r_3&=&7\end{array}\right.\)
je te laisse résoudre ce système !

[yann]

Bonsoir SOS 21

tout d'abord merci de m'avoir répondu
cet exercice me plait vraiment beaucoup , j'espère que c'est la meme chose pour vous

donc voici ce que je propose pour résoudre ce système linéaire
dans l'énoncé on appelle P 1 , P 2 et P 3 les centres des trois cercles
donc comme les distances entre les points P 1 et P 2 est de 4 donc c'est bien l'addition des 2 rayons des 2 cercles

en fait je propose 2 méthodes
R1 + R 2 = 4
R2 + R3 = 6
R1 + R 3 = 7
à partir de la deuxième équation on identifie R 2 = 6 - R3
je remplace la valeur de R 2 dans la première équation
et je trouve R 1 + ( 6 - R 3 ) = 4
en fait un système linéaire à 2 équations 2 inconnues ( c'est bien ça ??)
R1 - R3 = - 2
R1 + R 3 = 7
ou encore
à partir de la deuxième équation , j'isole R 2
et à partir de la troisième équation , j'isole R3
R 2 + R 3 = 6 ---> R 2 = 6 - R3
R1 + R3 = 7-------> R1 = 7 - R3

R1 + R2 = 7 - R3 +6 - R3
R1 + R2 = 13 - 2 R 3

R1 = 13 - 2 R 3/ R2
(c'est bien cela ??)

troisième méthode
d'après le schéma que vous m'avez fourni dans votre précédent post (et je vous en remercie)
en fait on a un triangle rectangle et je peux utiliser le théorème de Phytagore
on a un triangle rectangle en P 2
donc (R1 + R 2)^2 + (R2 + R3)^2 = (R1 + R3) ^2
donc j'ai trois identités remarquables à développer
R1 ^2 + 2 (R1) * (R2) + (R2)^2 + ( R2)^2 + 2 (R2) * (R3) + (R3)^2 = (R1)^2 + 2 (R1) * (R3) + (R3)^2
R1 ^2 - R1 ^2 + 2 R1 R2 + 2 R2 ^2 + 2 R2 R3 = 2 R1 R3
2 (R1) (R2) + (R2) ^2 + 2 R2 R3 = 2 R1 R3
2 * 4 + R2 ^2 + 2 * 6 = 2 * 7
8 + R 2^2 + 12 = 14
R2 ^2 = 14 -12 -8 = -8
R = rac 8 = 2 rac 4

[sos-math(21)]

Bonjour,
la résolution de ton système doit te permettre de déterminer les trois rayons.
Tu étais bien parti dans la résolution du système.... Tu as obtenu :

R1 - R3 = - 2
R1 + R 3 = 7

Fais la somme de ces deux équations afin d'éliminer \(r_3\), cela te donnera \(r_1\). Une fois que tu l'auras, il sera facile de retrouver \(r_2\) et \(r_3\)
Les dimensions de ton triangle correspondent aux distances entre les centres, ce sont donc 4, 6 et 7 : ce n'est pas un triangle rectangle !
Reprends cela

[yann]

Bonjour
j'obtiens un système de 2 équations à 2 inconnues R1 et R2
R1 - R3 = -2
R1 + R3 = 7

pour éliminer le terme R3 j'effectue l'addition des 2 lignes

2 R1 = 5

R1 = 5/ 2= 2,5

puis R1 dans R1 - R3 = -2
2,5 - R3 = 2
R3 = -0,5

d'après le dessin que vous m'avez donné on dirait pourtant qu'il s'agit d'un triangle rectangle
j'étais tout content de pouvoir utiliser le thèorème de Phytagore

[SoS-Math(31)]

Bonjour Yann,
c'est bien pour r1. Tu as oublié le signe "-" pour r3 :
2,5 - r3 = "- "2