suite

[yann]

bonsoir
et merci pour l'existence de votre site

Dans un carré de coté 1 on construit un triangle rectangle isocele de coté 1 également
puis dans le carré de côté 1/2 situé en haut à droite
on construit de même un triangle rectangle isocèle de côte 1/2 ; et ainsi de suite ,indéfiniment


Problème : quelle proportion de l'aire d carré initiale représente la somme des aires de cette infinité de triangle?
on note a1 l'aire du premier triangle
a2 l'aire du deuxième triangle

1 quelle est la nature de la suite a(n)?
2 montrer que a1+a2+…..+an=2/3 (1-(1/4)^n)

pouvez vous m'aider déjà pour essayer de construire un dessin

un triangle rectangle possède 2 coté égaux
dans l'énoncé on nous dit construire un triangle rectangle isocèle de coté 1 également

donc si j'ai un carré que je nomme A B C D je trace les diagonales BD et AD
le point 0 étant le milieu des 2 diagonales
le premier triangle isocèle aura donc le point O comme sommet
c'est bien ça ??

[sos-math(21)]

Bonjour,
cela devrait ressembler à cela, non ?

Bon courage

[yann]

oui apparemment c'est bien ce dessin
merci beaucoup
donc dans le carré 0 F C E je trace la diagonale FE pour avoir un deuxième triangle isocèle
puis
je prends la moitié du coté CEpuis le milieu de la nouvelle diagonale pour avoir un nouveau coté

quelle proportion de l'aire initiale représente la somme de cette infinité d'aire
on note a1 l'aire du premier triangle puis a2 `
montrer que a1 +a2 + a3 + + an = 2/3 (1 -(1/4)^n)

quand ne devient de plus en plus grand (1/4) se rapproche de 0
j'ai pris des valeurs de 1 à 6
1 - (1/4) ^n se rapproche de 1
donc de la valeur 2/3
c'est bien ça ?
par contre pour ma suite est ce qu'il faut calculer l'aire d'un premier triangle??

[SoS-Math(9)]

Bonjour Yann,

Tout d'abord, es-tu en première ou terminale ? Car il me semble que les limites de suites se font en terminale ....

Ensuite, oui ta limite est bien 2/3.
Pourquoi veux-tu calculer l'aire du premier triangle ? Ce n'est pas demandé !

SoSMath.

[yann]

Bonsoir monsieur,

je suis en première
je vous redonne l'énoncé
Dans un carré de coté 1 on construit un triangle rectangle isocele de coté 1 également ; puis dans le carré de côté 1/2 situé en haut à droite on construit de même un triangle rectangle isocèle de côte 1/2 ; et ainsi de suite ,indéfiniment.

Problème :quelle proportion de l'aire d carré initiale représente la somme des aires de cette infinité de triangles ?
1.On note a1,l'aire du premier triangle ,a2 l'aire d second, etc
Quelle est la nature de la suite (an) ?

2.En déduire l'expression de an en fonction de n.

3 montrer que a1+a2+…..+an=2/3(1-(1/4)^n)

vous me demandez pourquoi je veux calculer l'aire du premier triangle
en relisant l'énoncé on me demande
quelle propotion de l'aire carre initiale représente la somme des aires de cette infinité de triangles?
------> c'est un peu pour cela que j'ai envie de calculer l'aire du carre initiale


puis on me dit que a1 représente l'aire du premier triangle
donc on a bien a1 + a2 + a3 jusque a ^n avec n pour l'infini
en fait c'est une suite qui est infini ,c'est bien ça??

je n'arrive pas à trouver si c'est une suite arithmétique ou géométrique
tout ce que je sais faire pour l'instant c'est calculer Un + un +1 pour déterminer le sen s de variation de la suite
d'apres la dernière question quand n tend vers l'infini a1+ a2 + a3 + + an = 2/3

[sos-math(21)]

Bonjour,
ton premier triangle est égale à la moitié de l'aire du carré de côté 1 donc \(a_1=\frac{1}{2}\).
Ensuite, d'un triangle à l'autre, tes dimensions sont multipliées par \(\frac{1}{2}\) donc les aires sont multipliées par \(\frac{1}{4}\). Donc ta suite est une suite .... de raison ....
Tu peux donc en déduire la formule explicite et l'aire de la somme.
Bon courage

[yann]

Bonsoir Monsieur
merci beaucoup pour toutes vos explications et le temps que vous avez passé avec moi
théoriquement ça devrait venir tout seul mais j'ai encore du mal à aboutir à une conclusion

voila comment je raisonne

l'aire du premier triangle correspond à la moitié de l'aire carré initiale
nous avons tracé une première diagonale donc l'aire carré initiale est divisée par 2
si on appelle a1 ------> l'aire du premier triangle isocèle on peut écrire que a1 = 1/2 aire initiale

l'aire du deuxième triangle correspond à 1/2 de 1/4 de l'aire initiale
le deuxième triangle est situé dans l'aire du deuxième carré qui représente 1/4 de l'aire carré initiale
si on appelle a2 l'aire du deuxième triangle isocèle
a2 correspond à 1/2 *1/4 = 3/4 de l'aire initiale

pour passer de 1/2 à 3/4 on multiplie 1/2 par 1/4 et on a bien 1/2 *1/4 = 3/4

l'aire du troisième triangle correspond à 1/2 de 1/4 de 1/4 de l'aire initiale 1/2 2/4 = 4/4 = 1
en réduisant au meme dénominateur j'arrive à 4/4 donc 1

je sens qu'il s'agit d'une suite arithmétique mais je n'arrive pas à conclure
j'espère ne pas trop vous ennuyer

[sos-math(21)]

Bonjour,
je te rappelle que le produit de deux fractions se calcule ainsi : \(\frac{1}{2}\times \frac{1}{4}=\frac{1\times 1}{2\times 4}=\frac{1}{8}\)
Si tu regardes bien dans ton deuxième carré, l'aire occupée par le deuxième triangle occupe un 1/4 de l'aire du triangle supérieur.
Donc on prend 1/4 de l'aire précédente.
Ta suite n'est pas arithmétique, mais géométrique de raison ....
Reprends cela