Devoir Maison Dérivation

[Thomas]

Bonjour, je suis en première STMG et j'ai un Devoir-Maison à rendre pour la semaine prochaine. Le problème est que je n'arrive pas à résoudre mes questions malgré le cours et les exercices fait en classe...

Voici mon énoncé : Soit F une fonction polynôme du troisième degré telle que f(x) = ax3 + bx² + cx + d et Cf sa courbe représentative donnée ci-dessous. Les points A(0;0) et B(1;1) appartiennent à Cf et Ta et Tb sont les tangentes à Cf passant respectivement par les points A et B

1(a) : Déterminer Graphiquement F'(0) et F'(1) :

Pour cela, j'ai cherché le coefficient directeur.

Donc F'(0) = 0.5
F'(1) = 1

1(b) : A l'aide de la représentation graphique, donner l’équation de Ta et Tb :

Ta = F'(xa)(x-xa)+F(xa)
= 0.5(x-0)+0
= 0.5x + 0

Tb = F'(xb)(x-xb)+F(xb)
= 1(x-1)+1
= 1x + 0

2(a) : Exprimer F'(x) en fonction de a, b et c :

Pour cette question, j'ai eu beaucoup de mal et je ne sais pas si le résultat est bon..
J'ai donc exprimer la dérivée de F(x) normalement :

F(x) = ax3 + bx² + cx + d
= a * 3x² + b * 2x + c * 1 + 0
= 3ax² + 2bx + c

2(b) : Calculer F(0) et déduire la valeur de d :

Pour cela, j'ai remplacé les "x" par 0 dans la fonction.

F(0) = a * (0*0*0) + b * 0 + c * 0 +d
= d

2(c) : Calculer F'(0) et en déduire la valeur de c :

J'ai fait la même chose que pour "d".

F'(0) = 3a * 0² + 2b * 0 + c
= c

2(d) : En utilisant F(1) et F'(1); déterminer les valeurs de a et b :

Pour cela j'ai remplacé les "x" de la fonction et de sa dérivée par 1, puis j'ai mi mes deux fonctions dans un systeme.

F(1) = a * (1 *1*1) + bx * 1² + c * 1 + d
= a3 + b² + c + d

F'(1) = 3a * 1² + 2b * 1 + c
= 3a² + 2b + c

Je sais que ces fonction sont égale à 1 ( cf exercice précédent )
Donc le systeme est :

( a3 + b² + c + d = 1
( 3a² + 2b + c = 1

Je dois déterminer les valeurs de a et b, donc techniquement je suis censé supprimer ou annulé "c" et "d". Le probleme est que je ne comprend pas comment faire, je pourrais les multiplier par un chiffre commun pour qu'ils s'annulent, mais j'ai déjà essayé et ça ne marche pas.

3 ) Montrer que F(x) = x3 - x² + x

Je ne vois pas comment démontrer cela ici .. Pourriez-vous m'aider s'il vous plait ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu as déjà pas mal travaillé :
tu as obtenu :

F(0) = a * (0*0*0) + b * 0 + c * 0 +d
= d

Or la courbe passe par A(0 ; 0) donc \(F(0)=0\) et \(d=...\)
De même, tu as écrit :

F'(0) = 3a * 0² + 2b * 0 + c
= c

Comme tu as obtenu que le coefficient directeur de la tangente au point A d'abscisse 0 était égal à 0,5, cela correspond au nombre dérivé en x=0 : donc \(F'(0)=c=....\)
et là, il y a un problème car dans la dernière question, on te demande de montrer que c=1. Es-tu sûr que F'(0)=0,5 ? De même, es-tu sûr que F'(1)=1 ?
N'aurais -tu pas fait une erreur de lecture des graduations et du quadrillage : tu devrais avoir F'(0)=1 et F'(1)=2....
tes deux dernières équations ne comportent alors que deux inconnues a et b, cela te fait un système de deux équations à deux inconnues, que tu sais résoudre.
Reprends cela, tu n'as plus grand-chose à faire.