Trigonométrie, formule d'addition

[Amy]

Bonjour,

Dans un exemple de démonstration sur les formules d'addition, il s'agit de calculer la valeur exacte de cos.pi/12 et sin.pi/12.

On observe que pi/12 = pi/3 - pi/4.
Je voudrais comprendre comment ou pourquoi on décompose pi/12 en pi/3 - pi/4.
Je vous remercie.

[sos-math(20)]

Bonjour Amy,

On choisit \(\frac{\pi}{3}\) et \(\frac{\pi}{4}\) car ce sont deux angles dont on connaît les valeurs exactes des cosinus et des sinus.

Bonne soirée.

SOS-math

[Amy]

Bonsoir

Est-ce que cela signifie qu'on se réfère directement au cercle trigonométrique et qu'on déduit x et y d'après ces valeurs ?
Pourriez-vous me donner un autre exemple en m'indiquant le raisonnement car j'ai un doute. Je vous remercie.

[Amy]

Bonsoir,

En fait les valeurs des cosinus et sinus sont dans la table des valeurs remarquables. C'est bien ça ?

[SoS-Math(4)]

on pourrait aussi te demander de calculer cos(7pi/12)

or 7pi/12 =pi/... +pi/...

sosmaths

[SoS-Math(4)]

oui, c'est ça, il faut se servir de ce qu'on connait.

sosmaths

[Amy]

Bonjour et merci. J'ai compris.

Maintenant il s'agit d'équations :

Dans l'intervalle [0;2pi], résoudre l'équation cos x = racine carrée 3/2
On sait que cos pi/6 = racine carrée 3/2 donc l'équation devient cos x = cos Pi/6

Cette équation équivaut, sur R à x = pi/6 + 2kpi ou x = -pi/6 + 2lpi
et on cherche donc k et l entiers tels que : 0 <= pi/6 + 2kpi <= 2pi et 0 <= 2lpi <= 2pi


jusque là j'ai compris

mais ici :

ceci équivaut à -1/12 <= k <= 11/12 <= l <= 13/12
soit k = 0 et l = 1. D'où deux solutions : pi/6 + 2 x 0 x pi = pi/6 et pi/6 + 2 x 1 x pi = 11pi/6



ce qui me pose problème est la proposition :

ceci équivaut à -1/12 <= k <= 11/12 <= l <= 13/12

Pourriez-vous m'aider ?
Je vous remercie.

[SoS-Math(4)]

bonsoir,

0 <= pi/6 + 2kpi <= 2pi

de cette égalité tu déduis : -pi/6 <=2kpi<=11pi/6
puis en divisant par pi : -1/6 <= 2k <=11/6
puis en divisant par 2 : -1/12 <=k<=11/12 donc k=0

De même :

0 <= 2lpi <= 2pi

la , tu as oublié quelque chose : c'est :0 <=-pi/6+2lpi<=2pi

tu procèdes de la même façon que plus haut.

sosmaths

[Amy]

Merci. Grâce à vos explications claires j'ai compris.
Il me reste une chose à éclaircir toujours au sujet des intervalles.

On me donne l'exemple suivant :

Sin(3x + pi/2) = sin x dans R puis dans l'intervalle [0;2pi]

On obtient : 0 <=-pi/4+kpi<=2pi et 0 <= pi/8 + lpi/2 <= 2pi

soit : 1/4 <= k <= 9/4 et -1/4 <= l <= 15/4

Finalement, puisque k et l sont entiers :

K E {1,2} et l E{0,1,2,3}

On dénombre donc 6 solutions.

Je n'ai pas compris pourquoi 6 solutions, ni pourquoi 4x = pi/2 + 2lpi est équivalent à x = pi/8 + lpi/2

[SoS-Math(4)]

Bonsoir,

C'est bien compliqué tout ça. Reprenons :

sin(3x+pi/2)=sinx équivaut à 3x+pi/2= x +2kpi ou 3x+pi/2=pi-x+2lpi


ce qui équivaut à : 2x+pi/2=2kpi ou 4x=pi/2+2lpi


ce qui équivaut à 2x=-pi/2 +2kpi ou x=pi/8 + lpi/2

ce qui équivaut à x=-pi/4 +kpi ou x= pi/8 +lpi/2

Le premier groupe de solutions donne 2 points sur le cercle trigo, et le deuxième groupe de solutions donne 4 points sur le cercle trigo.(dessine le cercle et marque les points )

dans IR ça fera une infinité de solutions , dans [O;2pi] ça fera 6 solutions effectivement.

Voila j'ai détaillé les calculs, réfléchis bien et termine.

sosmaths

[Amy]

Merci pour ces conseils.

J'ai maintenant un exemple d'équation et on me précise qu'il faut y voir une équation du second degré. J'ai donc supposé qu'il fallait utiliser une égalité remarquables. Par contre je suis un peu perdu et les sin m'embrouillent. Je voulais savoir aussi si l'usage d'un logiciel de calcul formel comme XCAS était nécessaire?

2 sin carré x - 3 sin x - 2 = 0 dans [-2pi; pi]

J'ai essayé essayé de réduire les termes à une égalité remarquable.

2 sin carré x - 3sin x - 2 = 2 sin carré x - 3 sin x + 1 - 3

ensuite je ne vois pas. Comment dois-je procéder ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
Ta première équation est bien : \(2\sin^{2}(x)-3\sin(x)-2=0\).
Là on "voit" l'inconnue \(\sin(x)\) : je te propose donc un changement de variable : pose \(X=\sin(x)\) et résous l'équation du second degré associée

[Lucas]

Bonjour, je soi résoudre dans grand R l équation: cos(pu/3-x)= racine carre de 2/2 aidez moi s'il vous plais et mercie d'avance

[sos-math(20)]

Bonsoir Lucas,

Merci de créer votre propre message sinon tous les échanges se télescopent et cela n'a plus de sens !

Pour votre exercice, utilisez un cercle trigonométrique.

Bonne fin de soirée.

SOS-math