Trigonométrie

[Elodie]

Bonjour,

Dans un exercice on me demande de démontrer l'égalité suivante : \(( \cos(x) - \sin(x) )^2 = 1 - \sin(2x)\)

Je sais d'où vient le "1" car en développant \(( cos(x) - sin(x) )^2\) comme l'identité remarquable \((a+b)^2\) on obtient alors : \((\cos(x))^2 - 2 \cos(x)\times\sin(x) +( \sin(x))^2\)or on sait que \((\cos(x))^2+ (\sin(x))^2 = 1\) .

Seulement après quelques recherches (vaines) je ne comprends toujours pas comment aboutir au "-sin(2x)" que je dois trouver.

J’espère que vous pourrez m'aider, merci d'avance.

[sos-math(28)]

Bonsoir Elodie
Je crois que tu as pratiquement fait tout le travail, mais si tu n'a pas encore vu en cours les formules de trigonométries comme \(\sin(a+b)=\sin(a)\times\cos(b)+\sin(b)\times\cos(a)\) tu ne peux donc pas savoir que \(\sin(2x)\) s'exprime en fonction de \(\sin(x)\) et \(\cos(x)\).
Patience!

[Elodie]

En cherchant grâce à votre aide j'ai trouvé la formule, merci !
Cependant je me trouve encore une fois bloquée dans la suite de cet exercice ...
Dans la 3eme partie de cet exercice on me dit "ABC est un triangle tel que AB=4, AC=6 et BC=5."
Puis on me demande de calculer cos B et cos C, ce que j'ai fait grâce au théorème d'Al-kashi.
Seulement, ensuite on me demande d'en déduire cos (2C). Et, que peut on en conclure ?
Seulement je ne sais pas a quoi correspond exactement "cos (2C)" puisque après avoir vérifié avec la calculatrice cos (2C) n'est pas égale a 2cos C .

[sos-math(28)]

Bonjour Elodie
Effectivement en général \(\cos (2x)\not=2\cos (x)\).
Là encore si tu n'as pas vu que \(\cos(a+b)=\cos a\times\cos b -\sin a\times\sin b\), tu est bloquée.

[Elodie]

Bonjour,
Donc si j'ai bien compris pour avoir cos (2C) je dois trouver cos (C+C) en calculant, cos C* cos C - sin C*sin C ?

[sos-math(28)]

Exactement. Tu peux même exprimer \(\cos(2c)\) uniquement à l'aide de \(\cos(c)\) en utilisant \(\cos^2c+\sin^2c=1\)

[Invité]

Tu peux même exprimer \(\cos(2c)\) uniquement à l'aide de \(\cos(c)\) en utilisant \(\cos^2c+\sin^2c=1\)

Excusez moi si je me trompe mais je ne penses pas pouvoir utiliser \(\cos^2c+\sin^2c=1\) car j'obtiens \(\cos^2c-\sin^2c\) (avec un moins et non un plus entre les deux carrés .

[sos-math(28)]

Excusez moi si je me trompe mais je ne penses pas pouvoir utiliser \(\cos^2c+\sin^2c=1\) car j'obtiens \(\cos^2c-\sin^2c\) (avec un moins et non un plus entre les deux carrés .

Avec l'égalité \(\cos^2c+\sin^2c=1\) tu peux exprimer \(\sin^2c\) à l'aide de \(\cos^2c\) donc dans \(\cos^2c-\sin^2c\) tu peux remplacer \(\sin^2c\) par son expression en fonction de \(\cos^2c\).

[Elodie]

J'ai compris, merci !