argument d'un quotient de nombres complexes

[Jude]

Bonsoir

soit \(z_1=\sqrt{2}+i\sqrt{6}\) et \(z_2=2+2i\)
et \(Z=\frac{z_1}{z_2}\)

1) Ecrire \(Z\) sous forme algébrique : je trouve : \(\frac{(\sqrt{3}+1)\sqrt{2}}{4} + i\frac{(\sqrt{3}-1)\sqrt{2}}{4}\)

2) Donner les modules et arguments de \(z_1\), \(z_2\) et \(Z\) : je trouve :

\(|z_1|=2\sqrt{2}\) et \(arg(z_1)=\frac{\pi}{3}\)
\(|z_2|=2\sqrt{2}\) et \(arg(z_2)=\frac{\pi}{4}\)
\(|Z|=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

en revanche je ne parviens pas à déterminer l'argument de \(Z\). En effet j'ai : \(cos Teta=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{6}\) et \(sin Teta=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{6}\).
Comment retrouver l'angle en radian avec un tel résultat ? Merci de votre aide.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Jude,

Ok pour la forme algébrique.

Ok pour le module et l'argument de \(z_1\) et \(z_2\)

Pa rcontre je ne suis pas d'accord pour \(Z\), en effet le module du quotient de deux complexes est égal au quotients des modules, donc ici tu dois trouver \(\frac{2 \sqrt 2}{2\sqrt2}\) ce qui ne donne pas \(\frac{\sqrt 3}{2}\).

L'argument du quotient de deux complexes est égal à la différence des arguments de ces complexes, donc ici tu dois trouver \(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\).

Tu ne dois pas a priori utiliser la forme algébrique.

Bonne fin d'exercice

[Jude]

Bonjour,

Ah effectivement je comprend mieux maintenant. Je trouve donc \(arg(Z)=\frac{\pi}{12}\).

Merci.

[SoS-Math(9)]

C'est bon Jude.

SoSMath.