Exercice étude de fonctions

[Valentin]

Bonjour, bonsoir,
J'ai un DM de maths à faire pour lundi mais j'ai déjà des problèmes sur le premier exercice.
Voici l'énoncé : Soit f la fonction définie sur ]2;+infini[ par :
f(x)= (x²-3x+4)/(x-2)

On note C sa courbe représentative dans un repère (O;I,J).
1. Montrer quie l'on a f(x)= x-1 + 2/(x-2)

Ici j'ai procédé de la manière suivante (mais je ne suis pas sûr que ce soit la bonne) :
x-1 + 2/(x-2)
= ((x-1)(x-2))/(x-2) + 2/(x-2)
= (x²-3x+2)/(x-2) + 2/(x-2)
= (x²-3+2)/(x-2)
= f(x)
Donc f(x)= x-1 + 2/(x-2)

2. Soit "delta" la droite représentative de la fonction g définie par g(x)= x-1 dans le même repère. On considère la fonction d définie par d(x)= f(x)-g(x)
Etudier le signe de d(x) selon les valeurs de x.

Tout d'abord j'ai calculé d(x) et j'ai trouvé 2/(x-2) :
On sait que f(x)= x-1 + 2/(x-2) et g(x)= x-1
donc d(x)= x-1+2/(x-2) - (x-1)
d(x)= x-x-1+1+2/(x-2)
d(x)= 2/(x-2)

Ensuite je ne sais pas trop comment procédé, j'ai pensé à faire un tableau de signe peut être.
D'abord j'ai fait : x-2=0 <=> x=2
Je ne sais pas si se sera utile.
J'aimerais que vous m'aidiez à répondre à cette question.

3. En déduire la position de la courbe C par rapport à la droite "delta".

Là si j'ai bien compris il y a un rapport avec la question 2, mais j'hésite entre un tableau de variation et un tableau de signes, sachant que je ne sais pas trop quoi mettre comme valeurs à l’intérieur.

Je vous remercie d'avance.

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Valentin,

Pour trouver le signe de d(x) il faut résoudre les inéquations d(x) > 0 et d(x) < 0.
Ici cela est simple car d(x) est du signe de x-2 ... et en 2nde tu as étudié les signe de ax+ b !

Pour la question 3, il faut exploiter le tableau de signe du 2).
Rappel : Si d(x) > 0 sur un intervalle I, alors f(x) - g(x) > 0 sur I, soit f(x) > g(x) sur I. Donc la courbe de f est au-dessus de celle de g sur I.

SoSMath.

[Valentin]

Bonsoir,
Tout d'abord je vous remercie pour votre réponse. Ensuite voici ce que j'ai fait pour le tableau de signe :

x -infini 2 +infini
2 + | +
x-2 - 0 +
d(x) - || +

(Je m'excuse mais je ne savais pas comment faire un tableau de signe ici)

pour le 3. il faut en déduire la position de la courbe C par rapport à la droite "delta" :

Si x appartient à ]-infini; 2 [ alors g (x) est au dessus de f (x)
Si x appartient à ]2;+infini [ alors g(x) est en dessous de f (x)

Merci.

[sos-math(21)]

Bonsoir,
c'est bon pour le signe et les conclusions, tu aurais pu gagner un peu de temps : le tableau de signe est ici un gros "truc" qui n'est pas le plus rapide, on réserve ce genre de dispositif lorsqu'on a un produit ou un quotient "complexe" (avec du x en haut et en bas, en gros) à étudier.
Comme le disait sos-math(9), d(x) est positif lorsque \(x-2>0\) donc lorsque \(x>2\)...
Bon courage.