Fonction racine carré , carré

[Raiton]

On note f la fonction définie sur R+ par f(x) =racine de x et Cf sa courbe représentative.
On note g la fonction définie sur R+ par g(x) = x² et Cg sa courbe représentative.
On note D la droite d'équation y=x

Partie A
Soient x et y deux réels strictement positifs . On note M le point de coordonnées (x;y) et N le point de corrdonnées ( y; x)
a)Montrer de que le milieu I de [MN] appartient a D
b)Montrer que OM = ON
c) Que représente la droite D pour le segment [MN]

On déduit de la question précédente que le symétrique par rapport a D du point de coordonnées ( x;y) a pour coordonnées ( y ; x)

Partie B

a) Soit M un point de Cg Montrer que son symétrique par rapport à D appartient a Cf
b) Soit M un point de Cf . Montrer que son symétrique par rapport a D appartient a Cg.
c) Que peut - on en conclure ?

Je vous propose ici ma réponse : pour la partie A : a) xI = x+y/2 et YI = y+x/ 2 Donc Yi=Xi . Le milieu de [MN] Appartient bien à D .
pour la b) OM = racine de( y+x ) au carré et ON = racine de (y+x) au carré . Ils ont donc la meme longueur .
En revanche pour la c) je ne sais pas comment prouver que D est l'axe de symétrie du segment [MN] ..
Merci de me donner un coup de pouce

[SoS-Math(1)]

Bonjour,
Attention, il y a une petite erreur d'écriture: \(OM=ON=\sqrt{x^2+y^2}\)
OMN est un triangle isocèle en O.
La droite passe par O et par le milieu I du segment [MN].
Comment s'appelle-t-elle?
A bientôt.

[Raiton]

C'est la médiane , Donc l'axe de symétrie du triangle OMN ?

[SoS-Math(1)]

Bonjour,

C'est aussi la médiatrice, donc c'est en effet l'axe de symétrie du triangle et celui du segment [MN].

A bientôt.

[Raiton]

Bonjour , Merci , Puis-je dont vous proposer pas réponse s'il vous plait ? : On sait que OM=ON
On en déduit que O est equidistant de M et de N
Or si un point est equidistant des extrémités d'un segment alors il appartient à la médiatrice de ce segment
On sait aussi que I est le Milieu de [MN] et appartient a D et que D passe par O étant donné qu'il a pour fonction y=x .
On en déduit que D est la médiatrice du du segment [MN] et donc qu'il est l'axe de symétrie du segment [MN]
Ma réponse convient-elle ?.Merci et à bientôt

[sos-math(13)]

Oui, c'est bon.

De plus, quand on a cette propriété de symétrie par rapport à la droite d'équation y=x (qu'on appelle "première bissectrice"), les deux fonctions sont réciproques l'une de l'autre (il y a une autre condition à respecter, relative aux domaines de définition, mais je ne rentre pas dans le détail).

Ici, la fonction racine carrée et la fonction carré sont donc réciproques l'une de l'autre, donc f(g(x))=x et g(f(x))=x, pour tout x positif.

Bon courage.

[Raiton]

Merci Beaucoup puis-je vous proposer ma réponse a) et b) pour la Partie B ? :a) M(x;y) appartient à Cg ce qui equivaut à y=x² qui equivaut à x=racine de y ce qui équivaut a N (y;x) qui appartient à Cf
x=racine de y signifie que x est l'image de y par la fonction racine carré .
b) M(x;y) appartient à Cf qui équivaut a la fonction y=racine de ce qui équivaut à x=y² ce qui équivaut à N (y;x) qui appartient à Cg
x=racine de y signifie que x est l'image de y par la fonction carré .
Ma réponse est-elle Bonne ? Et je ne sais pas comment prouver que la droite D est l'axe de symétrie de Cg par rapport à Cf .Merci et à Bientot :)

[sos-math(13)]

C'est correct, en prenant en compte le fait que x soit positif, afin de garantir l'équivalence.

Car, de manière générale, \(y=x^2\) équivaut à \((x=\sqrt{y}\text{~ou~}x=-\sqrt{y})\).

Après, tu as déjà démontré que M et N étaient symétriques par rapport à (D). Il reste à voir ce que représentent M et N par rapport à Cf et Cg.

Bon courage.

[Raiton]

M et N sont des points de Cf et Cg , Désolé cela ne m'avance pas ... Merci de m'éclairer ^^

[sos-math(13)]

Pour que les courbes soient symétriques, il faut qu'elles soient des ensembles de points symétriques.
Or M et N sont symétriques...
De là à conclure. Il reste à le mettre en forme.

[sos-math(13)]

petite précision : M et N sont des points mobiles !

[Raiton]

J'ai compris mais pas a 100 % , Vous voulez dire que M et N représente l'ensemble des points des courbes Cf et Cg et comme M et N sont symétrique par rapport à D , Cf et Cg seraient symétriques par rapport à D ? Comment savoir que M et N sont l'ensemble des points de Cf et Cg ? Merci de M'éclairer encore une fois

[sos-math(13)]

C'est plutôt Cf et Cg qui représentent l'ensemble des points M et N.

Mais pourquoi ? Par construction :

Si Cf est la représentation graphique de f alors c'est l'ensemble des points (x;f(x)).

Dans notre cas, il faut considérer que la représentation graphique de la fonction "carré" est limitée aux x positifs, ce qui est bien présenté dans l'énoncé. D'où l'intérêt d'avoir été rigoureux sur l'équivalence lors du passage à la racine carrée.

[Raiton]

D'accord Merci Beaucoup puis-je vous proposer ma réponse ? : On sait que M est symétrique à N par rapport à D . Etant donné que Cf et Cg représente l'ensemble des points de M( x;y) et N (y;x) on peut déduire que la courbe Cf est symétrique à Cg par rapport à D . Merci de votre précieuse aide .

[sos-math(13)]

À bientôt sur sos-math.