Dérivabilité

[Thomas]

Bonjour !
Voici mon exercice, sur un DM de maths de 1ère S :

Soit f la fonction définie sur [0; +infinie[ par :
f(x) = x² * racine(x)

1) Démontrer que f est dérivable sur ]0; +infinie[ et calculer f '(x) pour x>0.
2) La fonction f est-elle dérivable en 0 ? Justifier en utilisant la définition.

Alors, pour la 1), je pense qu'il faut utiliser formule :
f(x+h) - f(x)
h

Mais à la fin, je tombe sur une ligne immense, avec plein de x² et de racines de x. Lorsque h tend vers 0 et qu'il est au dénominateur, que se passe-t-il pour le numérateur ? Il vaut 0 ? Il ne change pas ?

En tout cas, je pense que le résultat doit être : 2x * (1/(2*racine de x)) qui est la dérivée de f.
Je me trompe ?

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Thomas,

Tout d'abord le résultat que tu penses être juste est faux !
Ensuite paux-tu me donner le résultat de \(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) ?

SoSMath.

[Thomas]

alors, après quelques développements, ça donne :
x²(racine de x+h) + 2xh(racine de x+h) + h²(racine de x+h) - x²(racine de x)
Le tout sur h.

Pour la dérivée. Je viens de me rendre compte que j'ai juste multiplié les dérivées des fonctions usuelles, au lieu d'appliquer la formule :
u '(x)v(x) + v '(x)u(x)
pour les produits de deux fonctions. Ca donne donc :
2x*racine de x + (1/(2*racine de x))*x²

PS : excusez, je ne sais pas utiliser les notations mathématiques sur ce forum...

[SoS-Math(9)]

Thomas,

je suis d'accord avec tes calculs et pour la correction de ta dérivée !

Tu obtiens donc \(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=(2x+h)\sqr{x+h}+x^2\frac{\sqr{x+h}-\sqr{x}}{h}\)

donc pour le calcul de la limite, seul le terme \(\frac{\sqr{x+h}-\sqr{x}}{h}\) est gênant ...

La méthode pour levée cette indéterminée est la suivante : on mulitplie le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée de \(\sqr{x+h}-\sqr{x}\) qui est \(\sqr{x+h}+\sqr{x}\).

SoSMath.

[Thomas]

oK ! Merci beaucoup !
J'ai réussi, et je suis content de pas avoir eu la réponse tout de suite ! J'ai préféré comprendre et chercher !

Au revoir !

[SoS-Math(9)]

Bonne continuation,
SoSMath.

[alIIICE]

j'ai le meme exercice sauf que la premiere question je doit trouvé f'(x) dois je m'arreté a 2x*(rac x)+ (x²/(2*rac x))

[SoS-Math(2)]

Bonsoir,
vous pouvez bien sur trouver le signe de f '(x) avec votre expression mais c'est mieux de réduire l'expression et de la mettre sous la forme d'un quotient.
A bientô sur SoS-Math